Géométrie dans l’Espace : Cours Complet Terminale Spé Maths

Terminale spécialité maths — vecteurs 3D, plans, droites, distances, sphère

Term

Niveau

Spé maths

Matière

Sections

2026

Programme

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📋 Sommaire

1. Repère de l’espace et coordonnées
8. Position relative droite/plan
2. Vecteurs dans l’espace
9. Distance d’un point à un plan
3. Norme et distance entre deux points
10. La sphère
4. Produit scalaire dans l’espace
11. Angles entre droites et plans
5. Vecteur normal à un plan
12. Exercices types bac
6. Équation cartésienne d’un plan
13. Questions fréquentes
7. Représentation paramétrique d’une droite
14. Erreurs fréquentes

Section 01

Repère de l’espace et coordonnées

Repère orthonormé de l’espace : On se donne une origine O et trois vecteurs unitaires perpendiculaires deux à deux : i, j, k. Tout point M de l’espace a des coordonnées (x ; y ; z) telles que OM = x·i + y·j + z·k.

Objet	Notation	Exemple
Point	M(x ; y ; z)	A(1 ; 2 ; 3)
Vecteur AB	(xB−xA ; yB−yA ; zB−zA)	A(1;2;3), B(4;0;1) → AB(3;−2;−2)
Milieu de [AB]	((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 ; (zA+zB)/2)	((1+4)/2 ; (2+0)/2 ; (3+1)/2) = (5/2 ; 1 ; 2)

📘 Axes dans l’espace : L’axe Ox a l’équation y=0 et z=0. L’axe Oy a x=0 et z=0. L’axe Oz a x=0 et y=0. Le plan Oxy (plan horizontal) a l’équation z=0. Le plan Oxz a y=0. Le plan Oyz a x=0.

Section 02

Vecteurs dans l’espace

Les vecteurs de l’espace se manipulent comme en 2D, avec une coordonnée supplémentaire z.

Opération	Formule	Exemple avec u(1;2;3) et v(4;−1;0)
Addition	(x₁+x₂ ; y₁+y₂ ; z₁+z₂)	u+v = (5 ; 1 ; 3)
Soustraction	(x₁−x₂ ; y₁−y₂ ; z₁−z₂)	u−v = (−3 ; 3 ; 3)
Multiplication par λ	(λx ; λy ; λz)	2u = (2 ; 4 ; 6)
Colinéarité	u = k·v pour un certain réel k	u et (2;4;6) sont colinéaires (k=2)

✅ Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires si l’un d’eux est combinaison linéaire des deux autres : w = αu + βv. En pratique, on cherche α et β solution du système à 3 équations (coordonnées x, y, z).

Section 03

Norme et distance entre deux points

‖u‖ = √(x² + y² + z²) AB = ‖AB‖ = √((xB−xA)² + (yB−yA)² + (zB−zA)²)

📝 Exemples

Norme de u(2 ; −1 ; 3) : ‖u‖ = √(4 + 1 + 9) = √14.

Distance A(1;2;0) à B(4;2;3) :
AB = √((4−1)² + (2−2)² + (3−0)²) = √(9 + 0 + 9) = √18 = 3√2.

Vecteur unitaire colinéaire à u(1;1;1) :
‖u‖ = √3. Vecteur unitaire : (1/√3 ; 1/√3 ; 1/√3).

Section 04

Produit scalaire dans l’espace

u · v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Ou avec l’angle θ entre les vecteurs :

u · v = ‖u‖ · ‖v‖ · cos(θ)

Perpendicularité : u ⊥ v ⟺ u · v = 0 ⟺ x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0

📝 Exemples

u(1;2;−1) et v(3;0;3) :
u·v = 1×3 + 2×0 + (−1)×3 = 3 + 0 − 3 = 0 → u ⊥ v.

Angle entre u(1;0;0) et v(1;1;0) :
u·v = 1. ‖u‖ = 1. ‖v‖ = √2.
cos(θ) = 1/√2 → θ = 45°.

u(2;1;−1) · v(1;3;1) :
= 2 + 3 − 1 = 4.

Section 05

Vecteur normal à un plan

Vecteur normal : Un vecteur n est normal à un plan P si n est perpendiculaire à tout vecteur directeur du plan, c’est-à-dire si n · u = 0 pour tout vecteur u parallèle à P.

📘 Propriété fondamentale : Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont perpendiculaires.

📝 Exemple — trouver un vecteur normal

Un plan P contient les vecteurs u(1;2;0) et v(0;1;1).
On cherche n(a;b;c) tel que n·u = 0 et n·v = 0 :
a + 2b = 0 … (1)
b + c = 0 … (2)
De (2) : c = −b. De (1) : a = −2b. En posant b=1 : n = (−2 ; 1 ; −1).
Vérification : (−2)×1 + 1×2 + (−1)×0 = 0 ✓ ; (−2)×0 + 1×1 + (−1)×1 = 0 ✓

Section 06

Équation cartésienne d’un plan

Théorème : Tout plan de l’espace admet une équation cartésienne de la forme :
ax + by + cz + d = 0
où n(a ; b ; c) est un vecteur normal au plan et d est une constante déterminée par un point du plan.

ax + by + cz + d = 0 avec n(a;b;c) vecteur normal

Méthode : trouver l’équation d’un plan

1. Trouver (ou disposer de) un vecteur normal n(a;b;c)
2. Écrire ax + by + cz + d = 0
3. Substituer les coordonnées d’un point connu du plan pour trouver d
4. Vérifier avec un second point si disponible

📝 Exemple 1 — plan passant par A(1;2;3) avec n(2;−1;4)

Forme : 2x − y + 4z + d = 0.
A(1;2;3) ∈ plan : 2×1 − 2 + 4×3 + d = 0 → 2 − 2 + 12 + d = 0 → d = −12.
Équation : 2x − y + 4z − 12 = 0.

📝 Exemple 2 — plan passant par 3 points A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3)

AB = (−1;2;0), AC = (−1;0;3).
On cherche n(a;b;c) : a(−1)+b(2)+c(0) = 0 et a(−1)+b(0)+c(3) = 0.
−a + 2b = 0 → a = 2b ; −a + 3c = 0 → 3c = a = 2b → c = 2b/3. Avec b=3 : a=6, c=2. n(6;3;2).
Plan : 6x + 3y + 2z + d = 0. Point A(1;0;0) : 6 + d = 0 → d = −6.
Équation : 6x + 3y + 2z − 6 = 0 ou simplifiée : x/1 + y/2 + z/3 = 1 (plan intercepts).

📝 Exemple 3 — plans parallèles et perpendiculaires

Plan P₁ : 2x − y + 3z + 1 = 0. n₁(2;−1;3).
Plan P₂ : 4x − 2y + 6z − 5 = 0. n₂(4;−2;6) = 2·n₁ → P₁ ∥ P₂.
Plan P₃ : x + y + z = 0. n₃(1;1;1). n₁·n₃ = 2−1+3 = 4 ≠ 0 → P₁ et P₃ ne sont pas perpendiculaires.

Section 07

Représentation paramétrique d’une droite

Représentation paramétrique : Une droite D passant par A(x₀;y₀;z₀) et de vecteur directeur u(l;m;n) a pour représentation paramétrique :

x = x₀ + tl
y = y₀ + tm (t ∈ ℝ)
z = z₀ + tn

📝 Exemple 1 — droite passant par A(1;2;3) de vecteur directeur u(2;−1;0)

x = 1 + 2t
y = 2 − t
z = 3

📝 Exemple 2 — droite passant par A(0;1;2) et B(3;3;1)

AB = (3;2;−1) = vecteur directeur.
x = 3t ; y = 1 + 2t ; z = 2 − t.
Vérification : t=0 → A(0;1;2) ✓ ; t=1 → (3;3;1) = B ✓.

📘 Droite = intersection de deux plans : Une droite peut aussi être définie comme l’intersection de deux plans non parallèles. On résout le système des deux équations cartésiennes — la solution est une représentation paramétrique de la droite.

Section 08

Position relative droite/plan

Configuration	Condition	Méthode
Droite ∥ plan	u · n = 0 et un point de la droite ∉ plan	Produit scalaire nul + point hors plan
Droite ⊂ plan	u · n = 0 et un point de la droite ∈ plan	Produit scalaire nul + point dans le plan
Droite coupe le plan	u · n ≠ 0	Substituer la param. dans l’éq. du plan → valeur de t → point d’intersection
Droite ⊥ plan	u colinéaire à n	u = k·n

📝 Exemple — droite coupe un plan

Droite D : x = 1+t, y = 2−t, z = 3t. Plan P : 2x + y − z + 1 = 0.
Substitution : 2(1+t) + (2−t) − 3t + 1 = 0
→ 2 + 2t + 2 − t − 3t + 1 = 0 → 5 − 2t = 0 → t = 5/2.
Point d’intersection : x = 1 + 5/2 = 7/2 ; y = 2 − 5/2 = −1/2 ; z = 15/2.
Intersection : (7/2 ; −1/2 ; 15/2).

Section 09

Distance d’un point à un plan

d(M, P) = |ax_M + by_M + cz_M + d| / √(a² + b² + c²)

où P a l’équation ax + by + cz + d = 0 et M(xM ; yM ; zM).

📝 Exemple 1 — distance de A(1;2;3) au plan P : 2x − y + 2z − 1 = 0

a=2, b=−1, c=2, d=−1. M = A(1;2;3).
Numérateur : |2×1 + (−1)×2 + 2×3 − 1| = |2 − 2 + 6 − 1| = |5| = 5.
Dénominateur : √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
d(A, P) = 5/3. → distance = 5/3.

📝 Exemple 2 — distance entre deux plans parallèles

P₁ : x + 2y − 2z + 1 = 0 et P₂ : x + 2y − 2z + 7 = 0.
Prendre un point de P₁, par exemple A(−1;0;0) (vérifié : −1 + 0 − 0 + 1 = 0 ✓).
d(A, P₂) = |−1 + 0 − 0 + 7| / √(1+4+4) = |6| / 3 = 2.

Section 10

La sphère

Sphère de centre Ω(a;b;c) et rayon r : Ensemble des points M(x;y;z) de l’espace vérifiant ΩM = r, c’est-à-dire :

(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²

📝 Exemple 1 — identifier centre et rayon

(x−2)² + (y+1)² + (z−3)² = 25.
Centre : Ω(2 ; −1 ; 3). Rayon : r = √25 = 5.

📝 Exemple 2 — sphère de diamètre [AB], A(1;0;2), B(3;4;0)

Centre = milieu de [AB] = (2 ; 2 ; 1). Rayon = AB/2 = √(4+16+4)/2 = √24/2 = √6.
Équation : (x−2)² + (y−2)² + (z−1)² = 6.

📝 Exemple 3 — un point appartient-il à la sphère ?

Sphère S : (x−1)² + y² + (z+2)² = 9. Point M(3;1;−1).
(3−1)² + 1² + (−1+2)² = 4 + 1 + 1 = 6 ≠ 9 → M n’appartient pas à S.

Position relative plan/sphère

Soit d la distance du centre Ω au plan P et r le rayon :

Condition	Position
d > r	Plan ne coupe pas la sphère
d = r	Plan tangent à la sphère (un seul point commun)
d < r	Plan coupe la sphère en un cercle de rayon √(r²−d²)

Section 11

Angles entre droites et plans

Angle entre deux droites (ou deux vecteurs)

cos(θ) = |u · v| / (‖u‖ · ‖v‖) (θ ∈ [0° ; 90°])

On prend la valeur absolue car l’angle entre deux droites est toujours aigu ou droit.

Angle entre une droite et un plan

sin(α) = |u · n| / (‖u‖ · ‖n‖)

où u est le vecteur directeur de la droite et n le vecteur normal au plan. L’angle α ∈ [0° ; 90°] est le complément de l’angle entre u et n.

📝 Exemple — angle entre la droite de vecteur u(1;1;0) et le plan P : z = 0

Vecteur normal de P : n(0;0;1).
|u·n| = |0| = 0. sin(α) = 0 → α = 0°.
La droite est parallèle au plan (ou contenue dans le plan), ce qui est cohérent car u n’a pas de composante z.

Section 12

Exercices types bac

📝 Exercice 1 — équation de plan + vérification

Trouver l’équation du plan passant par A(2;0;1), B(1;3;0) et C(0;1;2).
AB = (−1;3;−1), AC = (−2;1;1).
n ⊥ AB et AC : −a+3b−c = 0 et −2a+b+c = 0.
De la 1ère : a = 3b−c. Dans la 2ème : −2(3b−c)+b+c = 0 → −6b+2c+b+c = 0 → −5b+3c = 0 → c = 5b/3.
Avec b=3 : c=5, a=9−5=4. n(4;3;5).
Plan : 4x+3y+5z+d=0. Point A(2;0;1) : 8+0+5+d=0 → d=−13.
Équation : 4x + 3y + 5z − 13 = 0.
Vérification B(1;3;0) : 4+9+0−13=0 ✓. C(0;1;2) : 0+3+10−13=0 ✓.

📝 Exercice 2 — distance + pied de la perpendiculaire

Plan P : 3x − 4y + 12z + 2 = 0. Point M(1;1;1).
d(M,P) = |3−4+12+2| / √(9+16+144) = |13| / √169 = 13/13 = 1.
Pied de la perpendiculaire : droite passant par M avec vecteur directeur n(3;−4;12).
x=1+3t, y=1−4t, z=1+12t. Substitution dans P :
3(1+3t) − 4(1−4t) + 12(1+12t) + 2 = 0 → 3+9t−4+16t+12+144t+2 = 0 → 169t+13=0 → t=−1/13.
Pied H : (1−3/13 ; 1+4/13 ; 1−12/13) = (10/13 ; 17/13 ; 1/13).

📝 Exercice 3 — sphère et plan tangent

Sphère S : (x−1)²+(y−2)²+(z+1)²=14. Plan P : 2x+y−3z+d=0.
Centre Ω(1;2;−1). Pour que P soit tangent à S : d(Ω,P) = r = √14.
|2+2+3+d| / √(4+1+9) = √14 → |7+d| / √14 = √14 → |7+d| = 14.
7+d = 14 → d=7 ou 7+d=−14 → d=−21.
Plans tangents : 2x+y−3z+7=0 et 2x+y−3z−21=0.

Section 13

Questions fréquentes

Comment trouver le vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs ?

Si le plan contient les vecteurs u(a;b;c) et v(d;e;f), on cherche n(x;y;z) tel que n·u = 0 et n·v = 0. Cela donne un système de deux équations à trois inconnues — on choisit librement la valeur d’une inconnue (par exemple y=1) et on résout pour les deux autres. Au programme de Terminale, cette méthode par système est la plus directe. La formule du produit vectoriel (non au programme) donne n = u × v directement, mais elle n’est pas exigée au bac.

Quelle est la différence entre « droite parallèle au plan » et « droite appartenant au plan » ?

Dans les deux cas, le vecteur directeur u de la droite est perpendiculaire au vecteur normal n du plan (u·n = 0). La différence est que pour une droite appartenant au plan, un (et donc tous les) point(s) de la droite vérifie l’équation du plan. Pour une droite parallèle au plan, aucun point de la droite ne vérifie l’équation du plan. Méthode : vérifier u·n = 0 d’abord, puis substituer un point de la droite dans l’équation du plan.

Comment passer de la forme développée d’une sphère à sa forme canonique ?

On utilise la méthode de complétion du carré sur chaque variable. Par exemple : x²+y²+z²−4x+6y−2z+5=0. On regroupe : (x²−4x) + (y²+6y) + (z²−2z) = −5. On complète : (x−2)²−4 + (y+3)²−9 + (z−1)²−1 = −5. Donc (x−2)²+(y+3)²+(z−1)² = 9. Centre (2;−3;1), rayon r=3. Si le membre de droite est négatif après complétion, l’équation ne représente pas une sphère réelle.

Pourquoi met-on la valeur absolue dans la formule de distance point-plan ?

La valeur absolue garantit que la distance est toujours positive (ou nulle). Le numérateur ax₀+by₀+cz₀+d peut être positif ou négatif selon que le point M est d’un côté ou de l’autre du plan. La distance est une grandeur scalaire positive, indépendante du côté. Sans la valeur absolue, on obtiendrait un résultat signé — le signe indiquerait de quel côté du plan se trouve le point, mais la question de distance demande une valeur positive.

Comment vérifier qu’un point appartient à une droite définie paramétriquement ?

On substitue les coordonnées du point dans les trois équations paramétriques et on vérifie qu’elles donnent la même valeur de t. Exemple : droite x=1+2t, y=3−t, z=2t. Point M(5;1;4) : 5=1+2t → t=2 ; 1=3−t → t=2 ; 4=2t → t=2. Les trois équations donnent t=2 → M appartient à la droite. Si les valeurs de t sont différentes, M n’appartient pas à la droite.

Section 14

Erreurs fréquentes

Erreur	Correct
Dans la distance point-plan, oublier la valeur absolue	d = \|ax₀+by₀+cz₀+d\| / √(a²+b²+c²) — toujours valeur absolue au numérateur
Confondre vecteur directeur et vecteur normal d’un plan	Le vecteur normal est ⊥ au plan ; un vecteur directeur est // au plan
Pour l’angle entre deux droites, ne pas prendre la valeur absolue du produit scalaire	cos(θ) = \|u·v\| / (‖u‖·‖v‖) — l’angle est toujours dans [0°;90°]
Conclure « droite parallèle au plan » dès que u·n = 0 sans vérifier	u·n = 0 signifie droite // ou ⊂ plan — vérifier en substituant un point
Dans l’équation de sphère, oublier les signes : (x−a)² avec a négatif	(x−(−2))² = (x+2)² — le centre a les coordonnées opposées aux signes dans l’équation
Calculer AB comme (xA−xB ; yA−yB ; zA−zB) (sens inversé)	AB = (xB−xA ; yB−yA ; zB−zA) — toujours « arrivée moins départ »
Oublier la 3ème équation en paramétrique quand on vérifie l’appartenance d’un point	Les 3 équations doivent donner la même valeur de t

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