Les Fractions en 6ème 🔢

Cours complet : définition, calculs, exercices corrigés et méthodes

Les fractions sont l’un des chapitres les plus importants du programme de maths en 6ème. Elles permettent de représenter des parts, des divisions et des proportions. C’est aussi l’un des sujets qui pose le plus de difficultés, car il faut bien comprendre la logique avant de passer aux calculs. Ce cours couvre toutes les notions au programme : vocabulaire, fractions égales, simplification, comparaison, addition, soustraction, multiplication, placement sur la droite graduée. Vous trouverez aussi des exercices corrigés, les erreurs fréquentes à éviter et une FAQ complète.

📋 Sommaire

📐 Définition et Vocabulaire

Une fraction est une écriture de la forme a/b (lire « a sur b ») où :

Terme Position Rôle Exemple (3/4)
Numérateur Au-dessus de la barre Indique combien de parts on prend 3
Dénominateur En dessous de la barre Indique en combien de parts égales on divise 4
Barre de fraction Entre les deux Signifie « divisé par » Le trait horizontal

Règle fondamentale : le dénominateur ne peut jamais être égal à 0. Diviser par zéro n’a aucun sens mathématique.

Concrètement, la fraction 3/4 signifie qu’on a divisé un tout en 4 parts égales et qu’on en prend 3. Par exemple : manger 3/4 d’une pizza, c’est la couper en 4 parts et en manger 3.

Vocabulaire courant : dans la vie quotidienne, certaines fractions ont un nom spécifique.

Fraction Nom courant Valeur décimale Exemple concret
1/2 La moitié (un demi) 0,5 La moitié d’une tablette de chocolat
1/3 Un tiers 0,333… Un tiers des élèves de la classe
1/4 Un quart 0,25 Un quart d’heure = 15 minutes
3/4 Trois quarts 0,75 Les trois quarts d’un match (75 min sur 90)
1/10 Un dixième 0,1 Un dixième de seconde au sprint

Remarque : une fraction est aussi un quotient. Écrire 3/4, c’est exactement la même chose qu’écrire 3 ÷ 4 = 0,75. Tout nombre entier peut s’écrire comme une fraction : 5 = 5/1.

🟰 Fractions Égales et Simplification

Deux fractions sont égales si l’on passe de l’une à l’autre en multipliant (ou divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre (non nul).

Par exemple : 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12. On a multiplié numérateur et dénominateur par 2, puis par 3, puis par 4.

Opération Exemple Explication
Amplifier (× par le même nombre) 3/5 = (3×4)/(5×4) = 12/20 On multiplie haut et bas par 4
Simplifier (÷ par le même nombre) 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3 On divise haut et bas par 6 (le PGCD)

Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale avec des nombres plus petits. Pour simplifier au maximum, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD). La fraction obtenue est dite irréductible : on ne peut plus la simplifier.

Astuce : si les deux nombres sont pairs, on peut diviser par 2. S’ils finissent par 0 ou 5, on peut diviser par 5. Si la somme de leurs chiffres est divisible par 3, on peut diviser par 3.

Fraction de départ Diviseur commun Fraction simplifiée Irréductible ?
8/12 ÷ 4 (PGCD) 2/3 ✅ Oui
15/25 ÷ 5 (PGCD) 3/5 ✅ Oui
24/36 ÷ 12 (PGCD) 2/3 ✅ Oui
18/24 ÷ 2 → 9/12, puis ÷ 3 3/4 ✅ Oui
7/13 Aucun (7 et 13 sont premiers) 7/13 ✅ Déjà irréductible

⚖️ Comparer des Fractions

Comparer deux fractions, c’est déterminer laquelle est la plus grande (ou si elles sont égales). La méthode dépend de la situation.

Cas Méthode Exemple
Même dénominateur Comparer les numérateurs directement 3/7 < 5/7 car 3 < 5
Même numérateur Le plus grand dénominateur → la plus petite fraction 3/5 > 3/8 car on divise en moins de parts
Dénominateurs différents Mettre au même dénominateur (PPCM ou produit en croix) 3/4 vs 5/6 → 9/12 vs 10/12 → 3/4 < 5/6
Comparer à 1 Si numérateur > dénominateur → fraction > 1 7/5 > 1 et 3/8 < 1

Le produit en croix est une technique rapide pour comparer a/b et c/d : on calcule a × d et c × b. Si a × d > c × b, alors a/b > c/d. Par exemple, pour comparer 3/4 et 5/7 : 3 × 7 = 21 et 5 × 4 = 20. Comme 21 > 20, on a 3/4 > 5/7.

➕ Addition et Soustraction de Fractions

Règle fondamentale : on ne peut additionner ou soustraire des fractions que si elles ont le même dénominateur. On additionne alors les numérateurs et on garde le dénominateur.

a/c + b/c = (a + b)/c et a/c − b/c = (a − b)/c

Si les dénominateurs sont différents, il faut d’abord réduire au même dénominateur.

Calcul Étapes détaillées Résultat
2/5 + 1/5 Même dénominateur → (2+1)/5 3/5
1/3 + 1/4 PPCM(3,4) = 12 → 4/12 + 3/12 = 7/12 7/12
5/6 − 1/3 PPCM(6,3) = 6 → 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2 1/2
3/4 + 2/5 PPCM(4,5) = 20 → 15/20 + 8/20 = 23/20 23/20
7/8 − 3/8 Même dénominateur → (7−3)/8 4/8 = 1/2

Trouver le dénominateur commun : le moyen le plus sûr est de multiplier les deux dénominateurs entre eux (4 × 5 = 20), mais si l’un est un multiple de l’autre (ex : 3 et 6), on prend directement le plus grand (6). Le PPCM (plus petit commun multiple) donne le dénominateur le plus petit possible.

✖️ Multiplication de Fractions

La multiplication de fractions est plus simple que l’addition : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

a/b × c/d = (a × c) / (b × d)

Calcul Étapes Résultat
2/3 × 4/5 (2×4) / (3×5) 8/15
3/7 × 7/9 (3×7) / (7×9) = 21/63 → simplifier par 21 1/3
5 × 2/3 5/1 × 2/3 = (5×2) / (1×3) 10/3

Astuce : il est souvent plus rapide de simplifier avant de multiplier. Pour 3/7 × 7/9, on peut simplifier le 7 du numérateur avec le 7 du dénominateur et le 3 du numérateur avec le 9 du dénominateur (car 9 = 3 × 3), ce qui donne directement 1/3 sans passer par 21/63.

🔢 Prendre la Fraction d’un Nombre

Prendre la fraction d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par la fraction. C’est l’une des applications les plus concrètes des fractions dans la vie quotidienne.

Prendre a/b d’un nombre N = N × a/b = (N × a) / b

Problème Calcul Résultat
Les 3/4 de 60 élèves 60 × 3/4 = (60 × 3) / 4 = 180/4 45 élèves
Les 2/5 de 35 bonbons 35 × 2/5 = (35 × 2) / 5 = 70/5 14 bonbons
Le 1/3 de 90 minutes 90 × 1/3 = 90/3 30 minutes
Les 5/8 de 120 € 120 × 5/8 = 600/8 75 €

Méthode rapide : on peut aussi diviser d’abord par le dénominateur, puis multiplier par le numérateur. Pour les 3/4 de 60 : 60 ÷ 4 = 15, puis 15 × 3 = 45. Cette méthode est souvent plus facile en calcul mental.

📏 Fractions sur la Droite Graduée

Pour placer une fraction sur une demi-droite graduée, on divise chaque segment unité en autant de parts que l’indique le dénominateur, puis on compte le nombre de parts indiqué par le numérateur.

Exemple : pour placer 5/3, on divise chaque segment unité en 3 parts. 5/3 = 1 + 2/3, donc le point est entre 1 et 2, à 2/3 du chemin après la graduation 1.

Fraction Décomposition Position sur la droite
3/4 0 + 3/4 (fraction < 1) Entre 0 et 1, aux 3/4 du segment
7/4 1 + 3/4 (partie entière = 1) Entre 1 et 2, aux 3/4 après 1
13/5 2 + 3/5 (13 ÷ 5 = 2 reste 3) Entre 2 et 3, aux 3/5 après 2

Méthode : pour décomposer une fraction supérieure à 1, on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Le quotient donne la partie entière, et le reste donne le numérateur de la partie fractionnaire.

📦 Encadrer une Fraction par Deux Entiers Consécutifs

Encadrer une fraction, c’est trouver les deux entiers consécutifs entre lesquels elle se situe. Cela revient à trouver la partie entière de la fraction.

Méthode : on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Si le quotient est q, alors : q ≤ a/b < q + 1

Fraction Division euclidienne Encadrement
17/5 17 ÷ 5 = 3 reste 2 3 ≤ 17/5 < 4
23/7 23 ÷ 7 = 3 reste 2 3 ≤ 23/7 < 4
11/4 11 ÷ 4 = 2 reste 3 2 ≤ 11/4 < 3

✏️ Exercices Corrigés

Voici 5 exercices progressifs pour vérifier que vous maîtrisez les fractions.

Exercice 1 — Simplifier une fraction

Énoncé : Simplifier la fraction 36/48 jusqu’à la rendre irréductible.

Correction : Le PGCD de 36 et 48 est 12. On divise numérateur et dénominateur par 12 : 36/48 = (36 ÷ 12) / (48 ÷ 12) = 3/4. La fraction 3/4 est irréductible car 3 et 4 n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

Exercice 2 — Comparer deux fractions

Énoncé : Comparer 5/8 et 7/12.

Correction : On met au même dénominateur. PPCM(8, 12) = 24. On a 5/8 = 15/24 et 7/12 = 14/24. Comme 15 > 14, on conclut : 5/8 > 7/12.

Exercice 3 — Additionner des fractions

Énoncé : Calculer 2/3 + 3/5.

Correction : PPCM(3, 5) = 15. On a 2/3 = 10/15 et 3/5 = 9/15. Donc 2/3 + 3/5 = 10/15 + 9/15 = 19/15.

Exercice 4 — Prendre la fraction d’un nombre

Énoncé : Un collège compte 720 élèves. Les 5/8 sont demi-pensionnaires. Combien d’élèves mangent à la cantine ?

Correction : On calcule les 5/8 de 720 : 720 × 5/8 = 720 ÷ 8 × 5 = 90 × 5 = 450 élèves.

Exercice 5 — Encadrement et droite graduée

Énoncé : Encadrer 29/6 par deux entiers consécutifs.

Correction : 29 ÷ 6 = 4 reste 5. Donc 29/6 = 4 + 5/6. L’encadrement est : 4 ≤ 29/6 < 5. Sur la droite graduée, 29/6 se situe entre 4 et 5, aux 5/6 du segment.

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

Voici les erreurs les plus courantes sur les fractions. Les repérer, c’est déjà les éviter.

❌ Erreur Pourquoi c’est faux ✅ Bonne méthode
1/3 + 1/4 = 2/7 On ne peut PAS additionner les numérateurs et les dénominateurs séparément 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
Simplifier 3+5 / 3+8 en 5/8 On ne peut simplifier que des facteurs (×), pas des termes (+) 8/11 ne se simplifie pas
3/5 > 3/4 car 5 > 4 C’est l’inverse ! Plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites 3/4 > 3/5
2/3 × 4/5 = 8/3 ou 2/20 On multiplie numérateur × numérateur ET dénominateur × dénominateur 2/3 × 4/5 = 8/15
Les 3/4 de 60 = 60/4 × 60/3 Il faut multiplier 60 par la fraction, pas diviser 60 par chaque terme 60 × 3/4 = 60 ÷ 4 × 3 = 45

📝 L’Essentiel à Retenir

Notion Formule / Règle
Fraction = division a/b = a ÷ b
Fractions égales Multiplier ou diviser numérateur et dénominateur par le même nombre
Addition / Soustraction Même dénominateur obligatoire → additionner les numérateurs
Multiplication a/b × c/d = (a×c) / (b×d)
Fraction d’un nombre a/b de N = N × a ÷ b
Simplification Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD → fraction irréductible
Encadrement Division euclidienne du numérateur par le dénominateur → q ≤ a/b < q+1
Produit en croix Pour comparer a/b et c/d : comparer a×d et c×b

❓ Questions Fréquentes sur les Fractions

Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?

La division par zéro n’a pas de sens en mathématiques. Si on divise 6 en 0 parts, la question elle-même est absurde — on ne peut pas répartir quelque chose en aucune part. C’est pourquoi le dénominateur d’une fraction ne peut jamais être 0.

Comment passer d’une fraction à un nombre décimal ?

Il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur. Par exemple, 3/8 = 3 ÷ 8 = 0,375. Certaines fractions donnent un résultat infini périodique : 1/3 = 0,333… et 1/7 = 0,142857142857… Ces fractions ne sont pas des nombres décimaux.

Quelle est la différence entre fraction et écriture fractionnaire ?

Une fraction a un numérateur et un dénominateur qui sont des nombres entiers (ex : 3/4). Une écriture fractionnaire peut contenir des nombres décimaux (ex : 3,5/2,1). En 6ème, on travaille surtout avec les fractions.

Quelle est la différence entre fraction et ratio ?

Une fraction exprime une partie d’un tout (3/4 d’une pizza = 3 parts sur 4). Un ratio compare deux quantités entre elles (3 garçons pour 4 filles = ratio 3:4). L’écriture est similaire, mais le sens est différent.

Comment savoir si une fraction est irréductible ?

Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1. Par exemple, 7/13 est irréductible (7 et 13 sont premiers entre eux). Si on peut encore diviser les deux par un même nombre, la fraction n’est pas irréductible.

Pourquoi faut-il mettre au même dénominateur pour additionner ?

Parce qu’on ne peut additionner que des quantités de même nature. 1/3 et 1/4 représentent des parts de tailles différentes (des tiers et des quarts). Il faut d’abord les convertir en parts de même taille (des douzièmes) pour pouvoir les compter ensemble.

Qu’est-ce qu’une fraction impropre ?

C’est une fraction dont le numérateur est supérieur au dénominateur, par exemple 7/4. Sa valeur est supérieure à 1. On peut l’écrire en nombre mixte : 7/4 = 1 + 3/4 (« un et trois quarts »).

Comment additionner un entier et une fraction ?

On écrit l’entier sous forme de fraction avec le même dénominateur. Par exemple : 2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5. Plus simplement, 2 + 3/5 est déjà une écriture valide (nombre mixte).

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