Quelles sont les formules de volume à connaître pour le brevet ?

Pavé droit : V = L × l × h. Cylindre : V = π × r² × h. Cône : V = (1/3) × π × r² × h. Pyramide : V = (1/3) × Aire de la base × h. Sphère (boule) : V = (4/3) × π × r³. Prisme : V = Aire de la base × h. Retenir que le cône et la pyramide ont un facteur 1/3 par rapport au cylindre et au prisme.

Comment calculer l'aire d'une sphère ?

L'aire d'une sphère de rayon r est A = 4 × π × r². Par exemple, pour une sphère de rayon 5 cm : A = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314,2 cm².

Qu'est-ce qu'une section de solide ?

Une section est la figure obtenue quand on coupe un solide par un plan. La section d'un cube par un plan parallèle à une face est un carré. La section d'un cylindre par un plan parallèle à la base est un disque. La section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base est une figure semblable à la base (réduction). La section d'une sphère par un plan est un disque.

Comment convertir des unités de volume ?

Pour les volumes, chaque unité est 1000 fois plus grande que la suivante : 1 m³ = 1000 dm³, 1 dm³ = 1000 cm³, 1 cm³ = 1000 mm³. Équivalences utiles : 1 dm³ = 1 litre, 1 cm³ = 1 mL, 1 m³ = 1000 litres. Pour convertir, on multiplie ou divise par 1000 (ou on utilise un tableau de conversion avec 3 colonnes par unité).

Comment l'agrandissement affecte-t-il les volumes ?

Si on agrandit un solide par un coefficient k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², et les volumes par k³. Par exemple, si k = 2 (on double toutes les dimensions), le volume est multiplié par 2³ = 8. Si k = 3, le volume est multiplié par 27.

Géométrie dans l'espace et grandeurs — Cours maths 3ème brevet

I. Les solides à connaître

Solide	Base	Faces latérales	Caractéristiques
Pavé droit (parallélépipède rectangle)	Rectangle	6 faces rectangulaires	Toutes les faces sont des rectangles, 8 sommets, 12 arêtes
Cube	Carré	6 faces carrées	Cas particulier du pavé : toutes les arêtes ont la même longueur
Cylindre de révolution	2 disques circulaires	Surface courbe (rectangle enroulé)	Hauteur h perpendiculaire aux bases, rayon r
Pyramide	Polygone (triangle, carré…)	Triangles	Sommet (apex) relié à tous les sommets de la base
Cône de révolution	1 disque circulaire	Surface courbe	Sommet (apex), hauteur h, rayon r, génératrice g
Sphère / Boule	Aucune	Surface courbe	Ensemble des points à distance r du centre. Sphère = surface, boule = volume
Prisme droit	2 polygones identiques	Rectangles	Les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases

II. Formules de volume

📐 Tableau récapitulatif des volumes

Solide	Formule	Variables
Pavé droit	V = L × l × h	L = longueur, l = largeur, h = hauteur
Cube	V = c³	c = côté de l’arête
Prisme droit	V = A_base × h	A_base = aire de la base, h = hauteur
Cylindre	V = π × r² × h	r = rayon, h = hauteur
Pyramide	V = ⅓ × A_base × h	A_base = aire de la base, h = hauteur
Cône	V = ⅓ × π × r² × h	r = rayon, h = hauteur
Boule (sphère)	V = ⁴⁄₃ × π × r³	r = rayon

🔑 Le facteur ⅓

Les solides « pointus » (pyramide, cône) ont un volume égal au tiers du solide « plein » correspondant :

Pyramide = ⅓ × Prisme (de même base et même hauteur).
Cône = ⅓ × Cylindre (de même base et même hauteur).

📝 Exemple — Volume d’un cône

Un cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 7 cm.

V = ⅓ × π × r² × h = ⅓ × π × 3² × 7 = ⅓ × π × 9 × 7 = ⅓ × 63π = 21π ≈ 65,97 cm³

📝 Exemple — Volume d’une boule

Un ballon de football a un rayon de 11 cm.

V = ⁴⁄₃ × π × r³ = ⁴⁄₃ × π × 11³ = ⁴⁄₃ × π × 1331 = ⁴⁄₃ × 1331π ≈ 5 575 cm³ ≈ 5,6 L

III. Formules d’aire

A. Aires des figures planes (rappels)

Figure	Formule
Rectangle	A = L × l
Carré	A = c²
Triangle	A = (b × h) / 2
Disque	A = π × r²
Trapèze	A = ((B + b) × h) / 2
Parallélogramme	A = b × h

B. Aires des solides

Solide	Aire totale
Pavé droit	A = 2(Ll + Lh + lh)
Cube	A = 6c²
Cylindre	A = 2πr² + 2πrh (2 disques + surface latérale)
Cône	A = πr² + πrg (disque + surface latérale, g = génératrice)
Sphère	A = 4πr²

💡 Surface latérale du cylindre

Si on « déroule » la surface latérale du cylindre, on obtient un rectangle de longueur = périmètre de la base = 2πr et de largeur = h.
Aire latérale = 2πrh.

📝 Exemple — Aire totale d’un cylindre

Cylindre de rayon 4 cm et hauteur 10 cm.

Aire des 2 disques = 2 × π × 4² = 32π
Aire latérale = 2π × 4 × 10 = 80π
Aire totale = 32π + 80π = 112π ≈ 351,9 cm²

IV. Sections de solides par un plan

📖 Définition

Une section est la figure obtenue quand on coupe un solide par un plan. C’est l’intersection entre le solide et le plan.

Solide	Plan parallèle à la base	Résultat
Cube / Pavé droit	Parallèle à une face	Rectangle (carré si cube)
Cylindre	Parallèle à la base	Disque de même rayon
Pyramide	Parallèle à la base	Polygone semblable à la base (réduction)
Cône	Parallèle à la base	Disque (réduction de la base)
Sphère	N’importe quel plan sécant	Disque (grand cercle si passe par le centre)

🔑 Section pyramide / cône et Thalès

Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, on obtient une réduction de la base. Le rapport de réduction est :

k = distance du sommet au plan de section / hauteur totale

Les longueurs de la section sont multipliées par k, l’aire par k².

📝 Exemple — Section d’un cône

Un cône a un rayon de base R = 6 cm et une hauteur h = 12 cm. On le coupe par un plan parallèle à la base à 4 cm du sommet.

Rapport de réduction : k = 4 / 12 = 1/3.
Rayon de la section = 6 × 1/3 = 2 cm.
La section est un disque de rayon 2 cm.

📝 Exemple — Section d’une sphère

Une sphère a un rayon R = 10 cm. Un plan passe à 6 cm du centre.

Le rayon r de la section se calcule avec Pythagore : R² = r² + d² (d = distance du centre au plan).
10² = r² + 6² → 100 = r² + 36 → r² = 64 → r = 8 cm.
La section est un disque de rayon 8 cm.

V. Agrandissement et réduction

Grandeur	Coefficient	Exemple k = 3
Longueurs	× k	5 cm → 15 cm
Aires	× k²	10 cm² → 90 cm²
Volumes	× k³	8 cm³ → 216 cm³
Angles	Inchangés	60° → 60°

📝 Exemple

Une maquette d’un bâtiment est réalisée à l’échelle 1/50 (k = 1/50).

Hauteur réelle = 15 m → Hauteur maquette = 15 / 50 = 0,30 m = 30 cm
Surface du toit réel = 200 m² → Surface maquette = 200 / 50² = 200 / 2500 = 0,08 m² = 800 cm²
Volume réel = 3000 m³ → Volume maquette = 3000 / 50³ = 3000 / 125 000 = 0,024 m³ = 24 000 cm³

VI. Conversions d’unités

A. Unités de longueur

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
1	10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000

Chaque unité est 10 fois plus grande que la suivante.

B. Unités d’aire

🔑 Conversion des aires

Pour les aires, on décale de 2 colonnes par unité (car aire = longueur²) :

1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² = 1 000 000 mm²
1 km² = 1 000 000 m²
1 ha (hectare) = 10 000 m²
1 are = 100 m²

C. Unités de volume et de contenance

🔑 Conversion des volumes

Pour les volumes, on décale de 3 colonnes par unité (car volume = longueur³) :

1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³
1 dm³ = 1 000 cm³

Équivalences volume ↔ contenance :
1 dm³ = 1 litre (L)
1 cm³ = 1 millilitre (mL)
1 m³ = 1 000 litres

📝 Exemple

Une piscine a un volume de 48 m³. Combien de litres d’eau contient-elle ?

1 m³ = 1 000 L → 48 m³ = 48 × 1 000 = 48 000 litres.

VII. Exercices types brevet

📝 Exercice 1 — Volume composite

Un silo à grain est composé d’un cylindre surmonté d’un cône. Le cylindre a un rayon de 3 m et une hauteur de 8 m. Le cône a le même rayon et une hauteur de 2 m.

Volume du cylindre = π × 3² × 8 = 72π
Volume du cône = ⅓ × π × 3² × 2 = ⅓ × 18π = 6π
Volume total = 72π + 6π = 78π ≈ 245 m³

📝 Exercice 2 — Problème avec Pythagore

Un cône a un rayon r = 5 cm et une génératrice g = 13 cm. Calculer la hauteur et le volume.

Hauteur : le triangle formé par h, r et g est rectangle.
g² = h² + r² → h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → h = 12 cm

Volume = ⅓ × π × 5² × 12 = ⅓ × 300π = 100π ≈ 314,2 cm³

📝 Exercice 3 — Agrandissement

Deux boules : la première a un rayon de 2 cm, la seconde un rayon de 6 cm.

Rapport k = 6 / 2 = 3.
Rapport des aires = k² = 9. L’aire de la grande boule est 9 fois celle de la petite.
Rapport des volumes = k³ = 27. Le volume de la grande boule est 27 fois celui de la petite.

V₁ = ⁴⁄₃ × π × 2³ = 32π/3 ≈ 33,5 cm³
V₂ = ⁴⁄₃ × π × 6³ = 864π/3 = 288π ≈ 904,8 cm³
Vérification : 904,8 / 33,5 ≈ 27 ✓

VIII. Glossaire des définitions

Pavé droitSolide à 6 faces rectangulaires. Aussi appelé parallélépipède rectangle.

Cylindre de révolutionSolide avec 2 bases circulaires parallèles reliées par une surface courbe.

Cône de révolutionSolide avec une base circulaire et un sommet (apex). La génératrice relie le sommet au bord de la base.

PyramideSolide dont la base est un polygone et les faces latérales sont des triangles convergents vers un sommet.

SphèreSurface dont tous les points sont à la même distance r (rayon) du centre. Ne pas confondre avec boule (qui inclut l’intérieur).

BouleSolide délimité par une sphère. Comprend la surface et le volume intérieur.

GénératriceSegment reliant le sommet du cône au bord de la base circulaire. Longueur g, avec g² = r² + h².

SectionFigure obtenue par intersection d’un solide et d’un plan.

PatronFigure plane que l’on peut plier pour reconstituer le solide.

Grand cercleSection de la sphère par un plan passant par le centre. Rayon = rayon de la sphère.

IX. Questions fréquentes (FAQ)

Pavé droit (L×l×h), cube (c³), cylindre (πr²h), cône (⅓πr²h), pyramide (⅓ × base × h), boule (⁴⁄₃πr³). Retenir que cône et pyramide = ⅓ du cylindre ou prisme.

A = 4πr². Exemple : r = 5 cm → A = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314,2 cm².

C’est la figure obtenue en coupant un solide par un plan. Section d’un cylindre parallèle à la base = disque. Section d’un cône parallèle à la base = disque réduit. Section d’une sphère = disque.

On décale de 3 colonnes : 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³. 1 dm³ = 1 L. 1 cm³ = 1 mL. 1 m³ = 1 000 L.

Longueurs × k, aires × k², volumes × k³. Si k = 2, le volume est multiplié par 8. Si k = 3, par 27. Si k = ½, par ⅛.