Le Calcul Littéral en 5ème 📝

Cours complet : expressions littérales, distributivité, réduction et exercices corrigés

Le calcul littéral est l’un des grands tournants du programme de maths : on passe des nombres aux lettres. Au lieu de calculer avec des valeurs précises, on apprend à manipuler des expressions algébriques contenant des variables (x, a, n…). C’est la base de l’algèbre, indispensable pour les équations en 4ème et toute la suite du collège et du lycée. Ce cours couvre les conventions d’écriture, la simplification, la distributivité simple, la réduction d’expressions, et la substitution.

📋 Sommaire

📐 Expressions Littérales

Une expression littérale est un calcul qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres inconnus ou variables. Par exemple, 3x + 5 est une expression littérale où x représente un nombre.

Expression Signification Exemple concret
2x + 3 Le double de x, plus 3 Si x = 4 : 2×4 + 3 = 11
a × b Le produit de a par b Aire d’un rectangle de côtés a et b
P = 2(L + l) Périmètre d’un rectangle Si L=7 et l=3 : P = 2(7+3) = 20

À quoi sert le calcul littéral ? Il permet d’écrire des formules générales valables pour tous les nombres. Au lieu de dire « le périmètre d’un rectangle de 7 cm par 3 cm est 20 cm », on écrit une formule P = 2(L + l) qui fonctionne pour tous les rectangles.

✏️ Conventions d’Écriture

En calcul littéral, on simplifie l’écriture en supprimant certains signes :

Règle Au lieu de… On écrit…
On supprime le signe × devant une lettre 3 × x 3x
On supprime le × entre deux lettres a × b ab
On supprime le 1 devant une lettre 1 × x ou 1x x
On écrit x × x en puissance x × x x²
Le nombre se place avant la lettre x × 5 5x

Attention : on ne supprime jamais le × entre deux nombres ! 3 × 5 s’écrit toujours 3 × 5 (ou 15), jamais « 35 ».

🔢 Substitution (Tester une Valeur)

Substituer, c’est remplacer une lettre par un nombre pour calculer la valeur de l’expression.

Expression Valeur Calcul Résultat
5x − 2 x = 3 5 × 3 − 2 = 15 − 2 13
x² + 4 x = 5 5² + 4 = 25 + 4 29
3a + 2b a = 4, b = 7 3×4 + 2×7 = 12 + 14 26
2(x + 3) x = −1 2 × (−1 + 3) = 2 × 2 4

✖️ Distributivité Simple

La distributivité est la propriété la plus importante du calcul littéral. Elle permet de développer (supprimer les parenthèses) ou de factoriser (faire apparaître un facteur commun).

Développer : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb

Expression Développement Résultat
3(x + 4) 3 × x + 3 × 4 3x + 12
5(2x − 3) 5 × 2x − 5 × 3 10x − 15
−2(x + 7) (−2) × x + (−2) × 7 −2x − 14
x(x + 5) x × x + x × 5 x² + 5x

Factoriser (opération inverse) : on cherche le facteur commun et on le met devant les parenthèses.

Expression Facteur commun Forme factorisée
6x + 18 6 (car 6x = 6×x et 18 = 6×3) 6(x + 3)
4x − 12 4 (car 4x = 4×x et 12 = 4×3) 4(x − 3)
3x² + 5x x (car 3x² = x×3x et 5x = x×5) x(3x + 5)

🔄 Réduire une Expression

Réduire une expression, c’est regrouper les termes de même nature pour simplifier l’écriture.

Termes de même nature : on ne peut additionner que des termes qui contiennent la même variable au même degré. On peut additionner 3x et 5x (tous les deux en x), mais pas 3x et 5x² (pas le même degré), ni 3x et 5 (l’un a un x, l’autre non).

Expression Regroupement Forme réduite
3x + 5x + 2 (3+5)x + 2 8x + 2
7x − 2x + 4 − 1 (7−2)x + (4−1) 5x + 3
4x + 3 + 2x − 7 (4+2)x + (3−7) 6x − 4
x² + 3x + 2x² − x (1+2)x² + (3−1)x 3x² + 2x

✏️ Exercices Corrigés

Exercice 1 — Simplifier l’écriture

Énoncé : Simplifier : a) 7 × a b) 1 × x + 3 c) b × b × b d) 4 × x × y

Correction : a) 7a. b) x + 3. c) b³. d) 4xy.

Exercice 2 — Substitution

Énoncé : Calculer 3x² − 2x + 1 pour x = 4.

Correction : 3 × 4² − 2 × 4 + 1 = 3 × 16 − 8 + 1 = 48 − 8 + 1 = 41.

Exercice 3 — Développer

Énoncé : Développer et réduire : a) 4(3x + 2) b) −3(x − 5) c) 2(x + 3) + 3(x − 1)

Correction : a) 12x + 8 → 12x + 8. b) −3x + 15 → −3x + 15. c) 2x + 6 + 3x − 3 = 5x + 3 → 5x + 3.

Exercice 4 — Factoriser

Énoncé : Factoriser : a) 8x + 24 b) 15x − 10 c) x² + 7x

Correction : a) Facteur commun 8 → 8(x + 3). b) Facteur commun 5 → 5(3x − 2). c) Facteur commun x → x(x + 7).

Exercice 5 — Problème

Énoncé : Le prix d’un stylo est x euros. Un cahier coûte 3 € de plus qu’un stylo. Écrire l’expression du prix total pour 4 stylos et 2 cahiers, puis calculer pour x = 1,50 €.

Correction : Prix d’un cahier : x + 3. Prix total : 4x + 2(x + 3) = 4x + 2x + 6 = 6x + 6. Pour x = 1,50 : 6 × 1,50 + 6 = 9 + 6 = 15 €.

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

❌ Erreur Pourquoi c’est faux ✅ Bonne méthode
3x + 5x = 8x² On additionne les coefficients, pas les exposants 3x + 5x = 8x
3x + 5 = 8x 3x et 5 ne sont pas de même nature (x vs nombre) 3x + 5 (déjà réduit)
2(x + 3) = 2x + 3 On doit distribuer le 2 sur les DEUX termes 2(x + 3) = 2x + 6
−3(x − 5) = −3x − 5 Moins × moins = plus : (−3) × (−5) = +15 −3(x − 5) = −3x + 15
x² signifie « x fois 2 » x² signifie « x fois x » = x au carré Si x = 5 : x² = 5 × 5 = 25 (pas 10)

📝 L’Essentiel à Retenir

Notion Règle
Convention On supprime le × devant les lettres : 3 × x = 3x
Développer k(a + b) = ka + kb
Factoriser ka + kb = k(a + b)
Réduire Regrouper les termes de même nature : 3x + 5x = 8x
Substituer Remplacer la lettre par un nombre et calculer

❓ Questions Fréquentes sur le Calcul Littéral

Pourquoi utilise-t-on des lettres en maths ?

Les lettres permettent d’écrire des formules générales valables pour tous les nombres. Au lieu de refaire le calcul à chaque fois, une formule comme A = L × l donne l’aire de n’importe quel rectangle. C’est aussi indispensable pour résoudre des équations (trouver une valeur inconnue).

Est-ce que 2x veut dire « 2 virgule x » ?

Non. 2x signifie « 2 fois x » (2 multiplié par x). Le fait de coller le 2 et le x est juste une convention d’écriture simplifiée. Si x = 3, alors 2x = 2 × 3 = 6.

Peut-on additionner 3x et 5y ?

Non, car ce ne sont pas des termes de même nature (x ≠ y). L’expression 3x + 5y est déjà réduite. On ne peut regrouper que les termes avec la même lettre au même degré.

C’est quoi la différence entre développer et factoriser ?

Ce sont les opérations inverses. Développer, c’est supprimer les parenthèses : 3(x + 2) = 3x + 6. Factoriser, c’est faire apparaître des parenthèses en trouvant un facteur commun : 3x + 6 = 3(x + 2).

Pourquoi −3(x − 5) donne −3x + 15 et pas −3x − 15 ?

Parce que (−3) × (−5) = +15 (règle des signes : moins × moins = plus). On distribue le −3 sur chaque terme à l’intérieur des parenthèses, y compris le signe du terme.

Est-ce que x et X sont la même chose ?

En pratique au collège, oui. Mais par convention, on utilise les minuscules pour les variables (x, y, a, b) et les majuscules pour les points ou ensembles (A, B, C). Il faut rester cohérent dans un même exercice.

🔗 Découvrez aussi nos autres cours de maths collège

Les Fractions (6e) •
Nombres Décimaux et Opérations (6e) •
Les Nombres Relatifs (5e) •
Proportionnalité et Pourcentages (5e) •
Le Théorème de Pythagore (4e) •
Les Équations (4e) •
Les Puissances (4e) •
Le Théorème de Thalès (3e) •
Les Fonctions (3e)

Retrouvez tous nos cours gratuits de maths collège sur cours-et-fiches.com.