Gravitation et Mouvement des Satellites

Terminale spécialité physique-chimie — loi de Newton, champ gravitationnel, orbites circulaires, lois de Kepler, applications spatiales

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Mécanique

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2026

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📋 Sommaire

1. Loi de gravitation universelle
8. Orbite géostationnaire
2. Le champ gravitationnel
9. Vitesse de libération
3. Poids et pesanteur
10. Lois de Kepler
4. Mouvement circulaire uniforme
11. Applications spatiales
5. Satellite en orbite circulaire
12. Exercices types bac
6. Vitesse orbitale
13. Questions fréquentes
7. Période orbitale

Section 01

Loi de gravitation universelle

Définition — Loi de Newton (1687)

Deux corps ponctuels de masses M et m séparés d’une distance d exercent l’un sur l’autre des forces attractives colinéaires, opposées et de même intensité :

F = G × M × m / d²
G = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² | M, m en kg | d en m | F en N

📘 Caractéristiques de la force gravitationnelle :
— Toujours attractive (jamais répulsive)
— Suit une loi en 1/d² (diminue rapidement avec la distance)
— À action à distance (pas besoin de contact)
— Universelle : s’applique à toute paire de corps massifs, quelle que soit leur nature
— Réciproque : la Terre attire la Lune avec la même force que la Lune attire la Terre (3ème loi de Newton)

💡 Ordre de grandeur : entre deux personnes de 70 kg à 1 m de distance :
F = 6,674 × 10⁻¹¹ × 70 × 70 / 1² ≈ 3,3 × 10⁻⁷ N — complètement imperceptible. La gravitation n’est significative qu’à l’échelle astronomique ou entre un corps massif (planète) et un autre.

📝 Force Terre-Lune

M_Terre = 5,97 × 10²⁴ kg, m_Lune = 7,34 × 10²² kg, d = 3,84 × 10⁸ m.
F = 6,674 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ × 7,34 × 10²² / (3,84 × 10⁸)²
F ≈ 1,98 × 10²⁰ N — force colossale, mais la Lune est très éloignée.

Section 02

Le champ gravitationnel

Définition

Le champ gravitationnel g⃗ créé par un corps de masse M en un point P distant de r est un vecteur dirigé vers M, d’intensité :

g = G × M / r²
g en N/kg = m/s² | r = distance au centre du corps de masse M

📘 Interprétation : le champ gravitationnel est une propriété de l’espace — il décrit l’accélération que subirait n’importe quel corps de masse m placé en ce point : F⃗ = m × g⃗.

À la surface de la Terre (r = R_Terre = 6,37 × 10⁶ m) :
g = G × M_Terre / R_Terre² = 6,674 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ / (6,37 × 10⁶)² ≈ 9,81 m/s²

💡 Variation avec l’altitude : à une altitude h au-dessus de la surface, r = R + h, donc g diminue. À 400 km (ISS) : r = 6 370 + 400 = 6 770 km.
g_ISS = 9,81 × (6 370/6 770)² ≈ 9,81 × 0,885 ≈ 8,68 m/s².
Contrairement à une idée reçue, l’astronaute de l’ISS n’est pas « sans gravité » — il est en chute libre permanente !

Section 03

Poids, masse et pesanteur

📘 Distinctions fondamentales :

	Masse m	Poids P⃗	Pesanteur g⃗
Nature	Quantité de matière	Force gravitationnelle	Champ = accélération de pesanteur
Unité	kg	N (newtons)	N/kg = m/s²
Varie avec lieu ?	Non (invariante)	Oui (P = mg)	Oui (dépend de r)
Formule	—	P = m × g	g = GM/r²

📝 Poids sur la Lune

M_Lune = 7,34 × 10²² kg, R_Lune = 1,74 × 10⁶ m.
g_Lune = 6,674 × 10⁻¹¹ × 7,34 × 10²² / (1,74 × 10⁶)² ≈ 1,62 m/s² ≈ g_Terre / 6.
Un astronaute de 70 kg pèse 70 × 9,81 = 686 N sur Terre, mais seulement 70 × 1,62 ≈ 113 N sur la Lune.

Section 04

Mouvement circulaire uniforme — rappel

Définition

Un mobile est en mouvement circulaire uniforme (MCU) s’il décrit un cercle de rayon r à vitesse constante v. Son vecteur accélération est centripète (dirigé vers le centre) :

a = v² / r = r × ω² = r × (2π/T)²
a en m/s² | v en m/s | r en m | ω en rad/s | T en s

📘 Force centripète nécessaire : d’après le PFD (ΣF = ma), pour maintenir un objet de masse m en MCU de rayon r, il faut une force dirigée vers le centre d’intensité F = m × v²/r. Pour un satellite, cette force est fournie par la gravitation.

Section 05

Satellite en orbite circulaire — équation fondamentale

Raisonnement central du chapitre

Un satellite de masse m orbite à l’altitude h autour d’une planète de masse M et de rayon R. Le rayon de l’orbite est r = R + h. La seule force agissant sur lui est la gravitation (on néglige tout frottement en orbite). La condition du MCU s’écrit : Force gravitationnelle = Force centripète.

G × M × m / r² = m × v² / r
→ simplification par m et r → équation en v et r

✅ Résultat clé : la masse du satellite s’annule — la trajectoire d’un satellite est indépendante de sa masse (comme la chute libre). Seules comptent la masse de la planète M et le rayon orbital r.

Section 06

Vitesse orbitale

En simplifiant l’équation fondamentale par m et r :

v = √(G × M / r)
v en m/s | G = 6,674 × 10⁻¹¹ | M = masse de la planète en kg | r = rayon orbital en m

📘 Conséquence importante : plus le rayon orbital r est grand, plus la vitesse orbitale est faible. Un satellite plus loin de la Terre est plus lent. L’ISS (400 km) orbite à ≈ 7,7 km/s tandis qu’un satellite géostationnaire (36 000 km) n’orbite qu’à ≈ 3,1 km/s.

📝 Vitesse de l’ISS

M_Terre = 5,97 × 10²⁴ kg, r = R + h = 6,37 × 10⁶ + 4 × 10⁵ = 6,77 × 10⁶ m.
v = √(6,674 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ / 6,77 × 10⁶)
v = √(5,88 × 10⁷) ≈ 7 668 m/s ≈ 7,7 km/s
L’ISS fait le tour de la Terre en ≈ 90 minutes, soit ≈ 16 tours par jour.

Section 07

Période orbitale

La période T est le temps pour parcourir une orbite complète de périmètre 2πr à vitesse v :

T = 2πr / v = 2π × √(r³ / (G × M))
T en s | r en m | G en N·m²·kg⁻² | M en kg

📘 Relation T² ∝ r³ : en élevant au carré, on obtient T² = 4π²r³/(GM). Pour une même planète centrale de masse M, le rapport T²/r³ est constant pour tous les satellites — c’est la 3ème loi de Kepler (voir section 10).

📝 Période de l’ISS

r = 6,77 × 10⁶ m, v = 7 668 m/s.
T = 2π × 6,77 × 10⁶ / 7 668 = 4,254 × 10⁷ / 7 668 ≈ 5 549 s ≈ 92,5 min

Section 08

Orbite géostationnaire

Définition

Un satellite est géostationnaire s’il semble immobile par rapport à un observateur terrestre. Sa période orbitale doit être égale à la période de rotation de la Terre : T = T_Terre = 24 h = 86 400 s. Il doit orbiter dans le plan équatorial, dans le sens de rotation de la Terre.

📘 Calcul du rayon géostationnaire :
T² = 4π²r³/(GM) → r³ = GMT²/(4π²)
r = ∛(GMT²/(4π²))
r = ∛(6,674×10⁻¹¹ × 5,97×10²⁴ × (86400)²/(4π²))
r ≈ 42 164 km depuis le centre de la Terre
Altitude h = r − R_Terre = 42 164 − 6 371 ≈ 35 793 km ≈ 36 000 km

💡 Applications des satellites géostationnaires :
— Télécommunications : TV par satellite, téléphonie longue distance (antenne parabolique fixe)
— Météorologie : Météosat observe en continu la même zone
— Limitation : signal met ≈ 240 ms pour faire l’aller-retour (latence élevée), ce qui les rend inadaptés aux applications temps réel. Starlink utilise des orbites basses (550 km) pour réduire la latence à ≈ 20 ms.

Section 09

Vitesse de libération

Définition

La vitesse de libération (ou vitesse de défilement) v_lib est la vitesse minimale qu’un objet doit avoir à la surface d’un astre pour s’en échapper définitivement, sans propulsion supplémentaire (énergie mécanique totale = 0).

v_lib = √(2 × G × M / R) = √2 × v_orbitale
M = masse de l’astre | R = rayon de l’astre

Astre	Masse (kg)	Rayon (km)	v_lib (km/s)
Terre	5,97 × 10²⁴	6 371	11,2
Lune	7,34 × 10²²	1 737	2,4
Mars	6,42 × 10²³	3 390	5,0
Jupiter	1,90 × 10²⁷	71 492	59,5
Soleil	1,99 × 10³⁰	695 700	617,5

📘 Trou noir : un objet si dense que sa vitesse de libération dépasse c (vitesse de la lumière). La lumière elle-même ne peut pas s’en échapper — d’où le nom. Le rayon correspondant s’appelle le rayon de Schwarzschild : r_S = 2GM/c². Pour la Terre : r_S ≈ 9 mm.

Section 10

Lois de Kepler

Loi des orbites

Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l’un des foyers.

Loi des aires

Le rayon vecteur planète-Soleil balaie des aires égales en des temps égaux. La planète est plus rapide au périhélie.

Loi des périodes

Le rapport T²/a³ est constant pour toutes les planètes du même système (a = demi-grand axe).

T² / a³ = 4π² / (G × M) = constante pour un astre central donné
T en s | a = demi-grand axe en m | M = masse de l’astre central

📘 Application de la 3ème loi : si on connaît T et a pour un satellite, on peut en déduire M (masse de la planète). C’est ainsi qu’on a mesuré la masse de la Terre, de Jupiter (via ses lunes), du Soleil, et même de trous noirs supermassifs au centre des galaxies.

📝 Application — vérification pour la Lune et ISS

Pour la Terre (M = 5,97 × 10²⁴ kg) : K = 4π²/(GM) = 4π²/(6,674 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴) ≈ 9,90 × 10⁻¹⁴ s²/m³

ISS : T = 5 549 s, r = 6,77 × 10⁶ m → T²/r³ = (5549)² / (6,77×10⁶)³ = 3,08×10⁷ / 3,10×10²⁰ ≈ 9,9 × 10⁻¹⁴ ✅
Lune : T = 27,3 j = 2,36 × 10⁶ s, r = 3,84 × 10⁸ m → T²/r³ ≈ 9,9 × 10⁻¹⁴ ✅

Section 11

Applications spatiales

Type d’orbite	Altitude	Période	Applications
LEO — Basse orbite	200 – 2 000 km	90 min – 2 h	ISS, Starlink, télédétection, météo
MEO — Orbite moyenne	2 000 – 36 000 km	2 h – 24 h	GPS, Galileo, GLONASS
GEO — Géostationnaire	≈ 36 000 km	24 h	Télécoms, Météosat
Orbite de transfert (Hohmann)	Variable	Variable	Passage d’une orbite à une autre, économie de carburant

L’impesanteur dans l’ISS — une idée reçue à corriger

⚠️ Idée reçue : « L’astronaute flotte parce qu’il est loin de la Terre et qu’il n’y a plus de gravité. »

Réalité : à 400 km, g ≈ 8,7 m/s² (88 % de g au sol). L’astronaute flotte parce que la station et lui sont en chute libre perpétuelle — ils « tombent » ensemble vers la Terre, mais leur vitesse horizontale est si grande qu’ils ratent continuellement la Terre. C’est ce qu’on appelle l’impesanteur (ou microgravité) : absence de réaction du support, pas absence de gravité.

Section 12

Exercices types bac

📝 Exercice 1 — satellite en orbite circulaire

Un satellite orbite à h = 800 km au-dessus de la Terre (R = 6 370 km, M = 5,97 × 10²⁴ kg).

a) Vitesse orbitale :
r = 6 370 + 800 = 7 170 km = 7,17 × 10⁶ m
v = √(GM/r) = √(6,674×10⁻¹¹ × 5,97×10²⁴ / 7,17×10⁶) = √(5,553×10⁷) ≈ 7 452 m/s ≈ 7,45 km/s

b) Période orbitale :
T = 2πr/v = 2π × 7,17×10⁶ / 7 452 ≈ 6 044 s ≈ 100,7 min

c) Accélération centripète :
a = v²/r = (7452)² / 7,17×10⁶ ≈ 7,74 m/s² (cohérent avec g à cette altitude)

📝 Exercice 2 — 3ème loi de Kepler, masse d’une planète

Une lune de Jupiter orbite à r = 4,22 × 10⁸ m avec une période T = 1,53 × 10⁵ s.
Calculer la masse de Jupiter.

T² = 4π²r³/(GM_J) → M_J = 4π²r³/(GT²)
M_J = 4π² × (4,22×10⁸)³ / (6,674×10⁻¹¹ × (1,53×10⁵)²)
M_J = 4π² × 7,51×10²⁵ / (6,674×10⁻¹¹ × 2,34×10¹⁰)
M_J = 2,97×10²⁷ / (1,56×10⁰) ≈ 1,90 × 10²⁷ kg ✅ (valeur tabulée)

📝 Exercice 3 — orbite géostationnaire autour de Mars

M_Mars = 6,42 × 10²³ kg, T_Mars = 24 h 37 min = 88 620 s.
Rayon orbital géostationnaire :
r³ = GM_Mars × T²/(4π²) = 6,674×10⁻¹¹ × 6,42×10²³ × (88620)² / (4π²)
r³ = 4,28×10¹³ × 7,85×10⁹ / 39,48 ≈ 8,50×10²¹
r = ∛(8,50×10²¹) ≈ 2,04 × 10⁷ m = 20 400 km depuis le centre de Mars.

Section 13

Questions fréquentes

Pourquoi la masse du satellite s’annule-t-elle dans les calculs d’orbite ?

C’est une conséquence de l’équivalence entre masse gravitationnelle et masse inertielle — un principe fondamental que Newton avait constaté empiriquement et qu’Einstein a élevé au rang de principe fondamental dans la relativité générale. Concrètement : la force gravitationnelle est proportionnelle à m (F = GMm/r²) et l’accélération est inversement proportionnelle à m (a = F/m). Ces deux m se simplifient, donnant a = GM/r² indépendamment de la masse du satellite. C’est pour la même raison que tous les objets tombent à la même vitesse en chute libre dans le vide (expérience de Galilée).

Quelle différence entre orbite circulaire et elliptique ?

Une orbite circulaire est un cas particulier d’orbite elliptique où l’excentricité est nulle (les deux foyers de l’ellipse sont confondus). Dans une orbite circulaire, la vitesse est constante et la distance à la planète est fixe. Dans une orbite elliptique, la vitesse varie : maximale au périapside (point le plus proche) et minimale à l’apoapside (point le plus éloigné) — c’est la 2ème loi de Kepler. La plupart des orbites réelles sont légèrement elliptiques (orbite terrestre : excentricité ≈ 0,017, variation de distance Soleil de ±2,5 millions de km). Au lycée, on travaille principalement avec des orbites circulaires par simplicité mathématique.

Pourquoi ne peut-il y avoir qu’une seule altitude géostationnaire ?

La condition géostationnaire impose T = T_Terre = 24 h. Or la période dépend du rayon : T = 2π√(r³/GM). Pour une période donnée, il existe une seule valeur de r solution. Cette valeur unique est r ≈ 42 164 km pour la Terre. Un satellite plus bas orbite plus vite (T < 24 h) et dérive vers l’est vu de la Terre. Un satellite plus haut orbite plus lentement (T > 24 h) et dérive vers l’ouest. Il n’y a donc qu’une seule orbite géostationnaire — une bande annulaire équatoriale. Ce « bien commun » est géré par l’Union internationale des télécommunications (UIT) qui alloue des positions aux États et opérateurs.

Comment Kepler a-t-il découvert ses lois sans calculatrice ni Newton ?

Johannes Kepler (1571-1630) a travaillé pendant des années sur les observations astronomiques très précises de Tycho Brahe (positionnement des planètes sur plusieurs décennies). En cherchant la courbe mathématique qui s’ajustait parfaitement aux données de Mars, il a mis plus de 5 ans de calculs avant de trouver que l’ellipse correspondait mieux qu’un cercle. La 3ème loi lui a demandé encore plus de temps. Ce n’est qu’en 1687, 57 ans après la mort de Kepler, que Newton a démontré mathématiquement que la loi en 1/r² de la gravitation implique nécessairement les trois lois de Kepler — unissant ainsi la physique terrestre et la mécanique céleste.

Peut-on orbiter à n’importe quelle altitude au-dessus de la Terre ?

En théorie oui, mais en pratique certaines altitudes sont inutilisables. En dessous de ≈ 160 km, l’atmosphère résiduelle cause trop de frottement et le satellite se déorbite rapidement (quelques jours). Entre ≈ 1 500 km et ≈ 12 000 km se trouvent les ceintures de Van Allen, zones de rayonnements intenses piégés par le champ magnétique terrestre : les satellites y sont soumis à un bombardement de particules qui dégrade rapidement l’électronique. C’est pour cela que l’ISS orbite à 400 km (sous la ceinture, avec boost régulier pour compenser le freinage atmosphérique) et que le GPS orbite à 20 200 km (au-dessus de la ceinture principale).

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