Les Puissances en 4ème 🔢

Cours complet : définition, propriétés, puissances de 10, écriture scientifique et exercices corrigés

Les puissances permettent d’écrire de façon compacte des multiplications répétées. Au lieu d’écrire 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10, on écrit simplement 106. C’est un outil indispensable pour manipuler les très grands nombres (distance Terre-Soleil : 1,5 × 108 km) et les très petits nombres (taille d’un atome : 10−10 m). Ce chapitre de 4ème couvre la définition, les cinq propriétés fondamentales, les puissances de 10, l’écriture scientifique, les préfixes scientifiques, avec des exercices corrigés et les erreurs fréquentes à éviter.

📋 Sommaire

📐 Définition : Puissance d’Exposant Positif

Soit a un nombre et n un entier positif (n ≥ 2). La puissance n de a, notée an, est le produit de n facteurs tous égaux à a :

an = a × a × a × … × a (n facteurs)

Le nombre a est appelé la base et n est l’exposant (ou la puissance). On lit « a exposant n » ou « a puissance n ».

Écriture Développement Résultat Lecture
34 3 × 3 × 3 × 3 81 « 3 puissance 4 »
52 5 × 5 25 « 5 au carré »
23 2 × 2 × 2 8 « 2 au cube »
106 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 1 000 000 « 10 puissance 6 » = un million

Cas particuliers : a1 = a (un seul facteur). Par convention, a0 = 1 pour tout a ≠ 0 (voir section suivante).

➕➖ Signe d’une Puissance

Le signe d’une puissance dépend du signe de la base et de la parité de l’exposant :

Base Exposant pair Exposant impair
Base positive Résultat positif ✅ Résultat positif ✅
Base négative Résultat positif ✅ Résultat négatif ❌

Exemples :

Calcul Base / Exposant Résultat Explication
(−2)4 Base −2, exposant pair (4) +16 (−2)×(−2)×(−2)×(−2) = +16
(−2)3 Base −2, exposant impair (3) −8 (−2)×(−2)×(−2) = −8
(−1)100 Base −1, exposant pair (100) +1 Pair → positif
(−5)1 Base −5, exposant impair (1) −5 Impair → négatif

⚠️ PIÈGE des parenthèses : la différence entre (−3)2 et −32 est fondamentale !

Écriture Signification Résultat
(−3)2 On met −3 au carré : (−3) × (−3) +9
−32 On calcule 3 au carré, puis on met le signe − : −(3 × 3) −9

Avec parenthèses, la base est −3. Sans parenthèses, l’exposant ne s’applique qu’au 3, et le signe − est à part. Cette distinction fait perdre beaucoup de points en contrôle !

🔄 Exposant Zéro et Exposant Négatif

Règle Formule Exemples
Exposant 0 a0 = 1 (pour a ≠ 0) 50 = 1, (−7)0 = 1, 100 = 1
Exposant négatif a−n = 1 / an (l’inverse) 2−3 = 1/23 = 1/8 = 0,125

Pourquoi a0 = 1 ? C’est la convention qui rend les propriétés cohérentes. Par exemple : a3 × a0 devrait donner a3+0 = a3. Pour que cela fonctionne, il faut que a0 = 1 (l’élément neutre de la multiplication).

Pourquoi a−n = 1/an ? De même : a3 × a−3 devrait donner a3+(−3) = a0 = 1. Donc a−3 doit être l’inverse de a3, soit 1/a3.

Autres exemples d’exposants négatifs :

Puissance Calcul Résultat
10−1 1/10 0,1
10−3 1/1 000 0,001
5−2 1/52 = 1/25 0,04
3−1 1/3 ≈ 0,333

📜 Les 5 Propriétés Fondamentales des Puissances

Ces propriétés sont valables pour tous les exposants (positifs, négatifs, nuls) et constituent la clé de tous les calculs sur les puissances :

Propriété Formule Exemple Condition
1. Produit de même base am × an = am+n 103 × 104 = 107 Même base a
2. Quotient de même base am / an = am−n 105 / 102 = 103 Même base a ≠ 0
3. Puissance d’une puissance (am)n = am×n (103)2 = 106 —
4. Produit à même exposant an × bn = (a × b)n 23 × 53 = 103 = 1 000 Même exposant n
5. Quotient à même exposant an / bn = (a / b)n 64 / 34 = 24 = 16 Même exposant n, b ≠ 0

⚠️ Attention : il n’existe PAS de formule pour am + an ou am × bn (bases ET exposants différents). On ne peut additionner les exposants que si les bases sont identiques.

🔟 Puissances de 10

Les puissances de 10 ont un rôle central en maths et en sciences. Elles permettent d’écrire facilement les très grands et très petits nombres.

Puissance Écriture décimale Nom
109 1 000 000 000 Un milliard
106 1 000 000 Un million
103 1 000 Un millier
102 100 Une centaine
101 10 Une dizaine
100 1 Unité
10−1 0,1 Un dixième
10−2 0,01 Un centième
10−3 0,001 Un millième
10−6 0,000 001 Un millionième

Astuce : pour 10n avec n positif, l’écriture décimale est un 1 suivi de n zéros. Pour 10−n, c’est 0 suivi d’une virgule, puis (n−1) zéros, puis un 1.

🔬 Écriture Scientifique

L’écriture scientifique d’un nombre décimal non nul est l’unique écriture de la forme :

a × 10n avec 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et n entier relatif.

Nombre Étapes Écriture scientifique
345 000 3,45 → virgule déplacée de 5 rangs vers la droite 3,45 × 105
0,000 067 6,7 → virgule déplacée de 5 rangs vers la gauche 6,7 × 10−5
7,3 Déjà entre 1 et 10 → exposant 0 7,3 × 100
150 000 000 (distance Terre-Soleil en km) 1,5 → virgule déplacée de 8 rangs 1,5 × 108
0,000 000 001 (taille d’un atome en m) 1 → virgule déplacée de 9 rangs 1 × 10−9

Méthode pas à pas :

1. Repérer le premier chiffre significatif (le premier chiffre ≠ 0).

2. Placer la virgule juste après ce chiffre pour obtenir un nombre entre 1 et 10.

3. Compter le nombre de rangs de déplacement de la virgule.

4. Si la virgule s’est déplacée vers la gauche (grand nombre) → exposant positif. Si vers la droite (petit nombre) → exposant négatif.

Attention : 0,36 × 102 et 36 × 100 sont des écritures équivalentes à 36, mais ne sont pas des écritures scientifiques (car 0,36 < 1 et 36 ≥ 10). La seule écriture scientifique de 36 est 3,6 × 101.

Ordre de grandeur : l’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de 10 la plus proche. Par exemple, l’ordre de grandeur de 345 000 (= 3,45 × 105) est 105 car 3,45 est plus proche de 1 que de 10. L’ordre de grandeur de 7 800 (= 7,8 × 103) est 104 car 7,8 est plus proche de 10.

📏 Préfixes Scientifiques

Les puissances de 10 correspondent à des préfixes utilisés au quotidien en physique, chimie, SVT et technologie :

Préfixe Symbole Puissance Exemple concret
Giga G 109 1 Go = 109 octets
Méga M 106 1 MHz = 106 Hz
Kilo k 103 1 km = 103 m = 1 000 m
Hecto h 102 1 hL = 100 L
Déci d 10−1 1 dm = 0,1 m
Centi c 10−2 1 cm = 0,01 m
Milli m 10−3 1 mm = 0,001 m
Micro μ 10−6 1 μm = taille d’une bactérie
Nano n 10−9 1 nm ≈ taille d’une molécule

📊 Table des Carrés et Cubes Parfaits (à connaître)

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15
n² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 225
n³ 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000 — — —

✏️ Exercices Corrigés

Exercice 1 — Écrire sous forme de puissance

Énoncé : Simplifier : a) 7 × 7 × 7 × 7 × 7 b) (−3) × (−3) × (−3) c) 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

Correction : a) 75. b) (−3)3 = −27. c) 108 = 100 000 000.

Exercice 2 — Utiliser les propriétés

Énoncé : Écrire sous forme d’une seule puissance : a) 104 × 10−7 b) 105 / 10−2 c) (103)4 d) 25 × 55

Correction : a) 104+(−7) = 10−3. b) 105−(−2) = 107. c) 103×4 = 1012. d) (2 × 5)5 = 105.

Exercice 3 — Écriture scientifique

Énoncé : Donner l’écriture scientifique de : a) 47 500 000 b) 0,000 023 4 c) 0,56 × 103

Correction : a) 4,75 × 107. b) 2,34 × 10−5. c) 0,56 × 103 = 560 = 5,6 × 102.

Exercice 4 — Calcul en écriture scientifique

Énoncé : Calculer A = (3 × 104) × (5 × 10−7). Donner le résultat en écriture scientifique.

Correction : A = (3 × 5) × (104 × 10−7) = 15 × 10−3. Mais 15 n’est pas entre 1 et 10, donc A = 1,5 × 101 × 10−3 = 1,5 × 10−2.

Exercice 5 — Problème concret

Énoncé : La vitesse de la lumière est d’environ 3 × 108 m/s. Combien de kilomètres parcourt la lumière en une année (3,15 × 107 secondes) ? Donner le résultat en écriture scientifique.

Correction : Distance = vitesse × temps = (3 × 108) × (3,15 × 107) = 9,45 × 1015 m = 9,45 × 1012 km. L’année-lumière vaut environ 9,45 × 1012 km (soit 9 450 milliards de km).

Exercice 6 — Signe d’une puissance

Énoncé : Déterminer le signe et calculer : a) (−2)6 b) −26 c) (−1)2025

Correction : a) Base −2, exposant pair → +64. b) C’est −(26) = −64 (pas de parenthèses !). c) Base −1, exposant impair → −1.

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

❌ Erreur Pourquoi c’est faux ✅ Bonne méthode
(−3)2 = −9 Avec parenthèses, la base est −3 : (−3)×(−3) = +9 (−3)2 = +9
103 × 104 = 1012 On additionne les exposants, on ne les multiplie pas 103 × 104 = 107
23 × 32 = 65 Les bases sont différentes ! Pas de formule directe 23 × 32 = 8 × 9 = 72
10−3 = −1 000 L’exposant négatif donne l’inverse, pas l’opposé 10−3 = 1/103 = 0,001
0,36 × 102 est une écriture scientifique 0,36 < 1, la mantisse doit être entre 1 et 10 Écriture scientifique de 36 : 3,6 × 101
50 = 0 Tout nombre (≠ 0) élevé à la puissance 0 vaut 1 50 = 1

📝 L’Essentiel à Retenir

Notion Formule / Règle
Définition an = a × a × … × a (n facteurs)
Exposant 0 a0 = 1 (a ≠ 0)
Exposant négatif a−n = 1/an (inverse)
Même base am × an = am+n et am / an = am−n
Même exposant an × bn = (ab)n
Puissance de puissance (am)n = am×n
Écriture scientifique a × 10n avec 1 ≤ a < 10
Signe Base négative + exposant pair = positif

❓ Questions Fréquentes sur les Puissances

Pourquoi un nombre puissance 0 vaut 1 ?

C’est une convention qui rend les formules cohérentes. Si am × an = am+n, alors a3 × a0 = a3. Pour que cela fonctionne, il faut que a0 = 1 (le « neutre » de la multiplication). On peut aussi le voir comme : a3 / a3 = a3−3 = a0 = 1.

Quelle est la différence entre (−3)² et −3² ?

C’est LE piège classique ! (−3)2 = (−3) × (−3) = +9 car la base entière est −3. −32 = −(3 × 3) = −9 car l’exposant ne s’applique qu’au 3, et le signe − est une opération séparée. Retenez : les parenthèses changent tout.

Est-ce que 10⁻³ est un nombre négatif ?

Non ! Un exposant négatif donne l’inverse (1 divisé par la puissance), pas l’opposé. 10−3 = 1/103 = 1/1 000 = 0,001. C’est un nombre positif, très petit, mais positif.

Comment multiplier deux nombres en écriture scientifique ?

On multiplie les mantisses (les nombres devant) entre elles et on additionne les exposants. Exemple : (4 × 103) × (2 × 105) = (4 × 2) × 103+5 = 8 × 108. Si la mantisse sort de l’intervalle [1; 10[, on ajuste.

Comment diviser deux nombres en écriture scientifique ?

On divise les mantisses et on soustrait les exposants. Exemple : (6 × 108) / (3 × 105) = (6/3) × 108−5 = 2 × 103.

À quoi servent les puissances en physique et SVT ?

Les puissances de 10 sont indispensables en sciences pour exprimer les grandeurs extrêmes : la distance Terre-Soleil (1,5 × 108 km), la taille d’un atome (10−10 m), la masse d’un proton (1,67 × 10−27 kg), la vitesse de la lumière (3 × 108 m/s), le nombre d’Avogadro (6,02 × 1023).

C’est quoi un ordre de grandeur ?

L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de 10 la plus proche. On l’obtient à partir de l’écriture scientifique : si la mantisse est inférieure à 5, l’ordre de grandeur est 10n ; si elle est supérieure ou égale à 5, c’est 10n+1. L’ordre de grandeur de 345 000 (= 3,45 × 105) est 105. Celui de 7 800 (= 7,8 × 103) est 104.

Peut-on avoir un exposant décimal ou fractionnaire ?

Oui, mais pas au programme de 4ème. Les exposants fractionnaires (comme 21/2 = √2) sont étudiés au lycée. Au collège, on se limite aux exposants entiers relatifs (positifs, négatifs ou nul).

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