Les Puissances en 4ème : Cours Complet
Définition · Propriétés · Puissances de 10 · Écriture scientifique — Programme de mathématiques 4ème
1. Définition : puissance d’exposant positif
Soit a un nombre et n un entier positif (n ≥ 2). La puissance n de a, notée aⁿ, est le produit de n facteurs tous égaux à a :
Le nombre a est la base et n est l’exposant. On lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
| Écriture | Développement | Résultat | Lecture |
|---|---|---|---|
| 3⁴ | 3 × 3 × 3 × 3 | 81 | « 3 puissance 4 » |
| 5² | 5 × 5 | 25 | « 5 au carré » |
| 2³ | 2 × 2 × 2 | 8 | « 2 au cube » |
| 10⁶ | 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 | 1 000 000 | « un million » |
Cas particuliers : a¹ = a (un seul facteur). Par convention, a⁰ = 1 pour tout a ≠ 0 (voir section suivante).
2. Signe d’une puissance
Le signe d’une puissance dépend du signe de la base et de la parité de l’exposant.
| Base | Exposant pair | Exposant impair |
|---|---|---|
| Base positive | Résultat positif | Résultat positif |
| Base négative | Résultat positif | Résultat négatif |
| Calcul | Base / Exposant | Résultat | Explication |
|---|---|---|---|
| (−2)⁴ | Base −2, exposant pair | +16 | (−2)×(−2)×(−2)×(−2) = +16 |
| (−2)³ | Base −2, exposant impair | −8 | (−2)×(−2)×(−2) = −8 |
| (−1)¹⁰⁰ | Base −1, exposant pair | +1 | Pair → positif |
| (−5)¹ | Base −5, exposant impair | −5 | Impair → négatif |
(−3)² = (−3) × (−3) = +9 → la base entière est −3.
−3² = −(3 × 3) = −9 → l’exposant ne s’applique qu’au 3, le signe − est à part.
Cette distinction fait perdre beaucoup de points en contrôle !
3. Exposant zéro et exposant négatif
Pourquoi a⁻ⁿ = 1/aⁿ ? De même : a³ × a⁻³ doit donner a⁰ = 1. Donc a⁻³ doit être l’inverse de a³.
| Puissance | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| 10⁻¹ | 1/10 | 0,1 |
| 10⁻³ | 1/1 000 | 0,001 |
| 5⁻² | 1/5² = 1/25 | 0,04 |
| 3⁻¹ | 1/3 | ≈ 0,333 |
4. Les 5 propriétés fondamentales des puissances
Ces propriétés sont valables pour tous les exposants (positifs, négatifs, nuls) et constituent la clé de tous les calculs sur les puissances.
| Propriété | Formule | Exemple | Condition |
|---|---|---|---|
| 1. Produit de même base | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 10³ × 10⁴ = 10⁷ | Même base a |
| 2. Quotient de même base | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 10⁵ / 10² = 10³ | Même base a ≠ 0 |
| 3. Puissance d’une puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ | (10³)² = 10⁶ | — |
| 4. Produit à même exposant | aⁿ × bⁿ = (a×b)ⁿ | 2³ × 5³ = 10³ = 1 000 | Même exposant n |
| 5. Quotient à même exposant | aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ | 6⁴ / 3⁴ = 2⁴ = 16 | Même exposant n, b ≠ 0 |
5. Puissances de 10
Les puissances de 10 ont un rôle central en maths et en sciences. Elles permettent d’écrire facilement les très grands et très petits nombres.
| Puissance | Écriture décimale | Nom |
|---|---|---|
| 10⁹ | 1 000 000 000 | Un milliard |
| 10⁶ | 1 000 000 | Un million |
| 10³ | 1 000 | Un millier |
| 10² | 100 | Une centaine |
| 10¹ | 10 | Une dizaine |
| 10⁰ | 1 | Unité |
| 10⁻¹ | 0,1 | Un dixième |
| 10⁻² | 0,01 | Un centième |
| 10⁻³ | 0,001 | Un millième |
| 10⁻⁶ | 0,000 001 | Un millionième |
6. Écriture scientifique
L’écriture scientifique d’un nombre décimal non nul est l’unique écriture de la forme :
| Nombre | Étapes | Écriture scientifique |
|---|---|---|
| 345 000 | 3,45 → virgule déplacée de 5 rangs vers la droite | 3,45 × 10⁵ |
| 0,000 067 | 6,7 → virgule déplacée de 5 rangs vers la gauche | 6,7 × 10⁻⁵ |
| 7,3 | Déjà entre 1 et 10 → exposant 0 | 7,3 × 10⁰ |
| 150 000 000 (Terre-Soleil, km) | 1,5 → virgule déplacée de 8 rangs | 1,5 × 10⁸ |
| 0,000 000 001 (taille d’un atome, m) | 1 → virgule déplacée de 9 rangs | 1 × 10⁻⁹ |
Méthode pas à pas
1. Repérer le premier chiffre significatif (le premier chiffre ≠ 0).
2. Placer la virgule juste après ce chiffre pour obtenir un nombre entre 1 et 10.
3. Compter le nombre de rangs de déplacement de la virgule.
4. Si la virgule s’est déplacée vers la gauche (grand nombre) → exposant positif. Si vers la droite (petit nombre) → exposant négatif.
7. Préfixes scientifiques (kilo, méga, nano…)
Les puissances de 10 correspondent à des préfixes utilisés au quotidien en physique, chimie, SVT et technologie.
| Préfixe | Symbole | Puissance | Exemple concret |
|---|---|---|---|
| Giga | G | 10⁹ | 1 Go = 10⁹ octets |
| Méga | M | 10⁶ | 1 MHz = 10⁶ Hz |
| Kilo | k | 10³ | 1 km = 10³ m = 1 000 m |
| Hecto | h | 10² | 1 hL = 100 L |
| Déci | d | 10⁻¹ | 1 dm = 0,1 m |
| Centi | c | 10⁻² | 1 cm = 0,01 m |
| Milli | m | 10⁻³ | 1 mm = 0,001 m |
| Micro | μ | 10⁻⁶ | 1 μm = taille d’une bactérie |
| Nano | n | 10⁻⁹ | 1 nm ≈ taille d’une molécule |
Pour approfondir les conversions : consultez notre cours sur les conversions d’unités.
8. Table des carrés et cubes parfaits (à connaître)
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 225 |
| n³ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1 000 | — | — | — |
9. Exercices corrigés
Exercice 1 — Écrire sous forme de puissance
Énoncé : Simplifier : a) 7 × 7 × 7 × 7 × 7 b) (−3) × (−3) × (−3) c) 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
Exercice 2 — Utiliser les propriétés
Énoncé : Écrire sous forme d’une seule puissance : a) 10⁴ × 10⁻⁷ b) 10⁵ / 10⁻² c) (10³)⁴ d) 2⁵ × 5⁵
Exercice 3 — Écriture scientifique
Énoncé : Donner l’écriture scientifique de : a) 47 500 000 b) 0,000 023 4 c) 0,56 × 10³
Exercice 4 — Calcul en écriture scientifique
Énoncé : Calculer A = (3 × 10⁴) × (5 × 10⁻⁷). Donner le résultat en écriture scientifique.
Exercice 5 — Problème concret (année-lumière)
Énoncé : La vitesse de la lumière est d’environ 3 × 10⁸ m/s. Combien de kilomètres parcourt la lumière en une année (3,15 × 10⁷ secondes) ?
L’année-lumière vaut environ 9 450 milliards de km.
Exercice 6 — Signe d’une puissance
Énoncé : Déterminer le signe et calculer : a) (−2)⁶ b) −2⁶ c) (−1)²⁰²⁵
10. Erreurs fréquentes à éviter
| Erreur | Pourquoi c’est faux | Bonne méthode |
|---|---|---|
| (−3)² = −9 | Avec parenthèses, la base est −3 : (−3)×(−3) | (−3)² = +9 |
| 10³ × 10⁴ = 10¹² | On additionne les exposants, on ne les multiplie pas | 10³ × 10⁴ = 10⁷ |
| 2³ × 3² = 6⁵ | Les bases sont différentes ! Pas de formule directe | 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 |
| 10⁻³ = −1 000 | L’exposant négatif donne l’inverse, pas l’opposé | 10⁻³ = 1/10³ = 0,001 |
| 0,36 × 10² est une écriture scientifique | 0,36 < 1, la mantisse doit être entre 1 et 10 | Écriture scientifique de 36 : 3,6 × 10¹ |
| 5⁰ = 0 | Tout nombre (≠ 0) élevé à la puissance 0 vaut 1 | 5⁰ = 1 |
11. L’essentiel à retenir
| Notion | Formule / Règle |
|---|---|
| Définition | aⁿ = a × a × … × a (n facteurs) |
| Exposant 0 | a⁰ = 1 (a ≠ 0) |
| Exposant négatif | a⁻ⁿ = 1/aⁿ (inverse) |
| Même base | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ et aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ |
| Même exposant | aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ |
| Puissance de puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ |
| Écriture scientifique | a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 |
| Signe | Base négative + exposant pair = positif |