Proportionnalité et Pourcentages en 5ème : Cours Complet
Tableaux · Coefficient · Produit en croix · Pourcentages · Échelles — Programme de mathématiques 5ème
1. Qu’est-ce que la proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on peut passer de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.
| Situation | Proportionnelle ? | Explication |
|---|---|---|
| Prix au kilo | Oui ✓ | 2 fois plus de kilos = 2 fois plus cher |
| Âge et taille d’un enfant | Non ✗ | Un enfant de 10 ans n’est pas 2× plus grand qu’à 5 ans |
| Distance et temps (vitesse constante) | Oui ✓ | 2× plus de temps = 2× plus de distance |
| Côté et aire d’un carré | Non ✗ | Côté × 2 → aire × 4 (pas × 2) |
2. Coefficient de proportionnalité
Le coefficient est le nombre par lequel on multiplie : grandeur 2 = coefficient × grandeur 1. Pour le trouver, on divise : coefficient = grandeur 2 ÷ grandeur 1.
| Situation | Calcul | Coefficient |
|---|---|---|
| 3 kg → 7,50 € | 7,50 ÷ 3 | 2,50 €/kg |
| 5 h → 400 km | 400 ÷ 5 | 80 km/h |
| 4 personnes → 200 g de farine | 200 ÷ 4 | 50 g/personne |
3. Tableaux de proportionnalité
Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner des colonnes, soustraire des colonnes, ou multiplier une colonne par un nombre.
| Croissants | 1 | 3 | 5 | 8 (= 3+5) | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 1,20 | 3,60 | 6,00 | 9,60 (= 3,60+6) | 12,00 |
4. Le produit en croix (règle de trois)
Le produit en croix est la méthode la plus rapide pour trouver une valeur manquante. Si on a deux rapports égaux a/b = c/d, alors a × d = b × c.
Méthode concrète
Problème : 4 stylos coûtent 6 €. Combien coûtent 7 stylos ?
| Étape | Calcul |
|---|---|
| 1. Poser le tableau | 4 stylos → 6 € / 7 stylos → x € |
| 2. Produit en croix | x = (7 × 6) ÷ 4 |
| 3. Calculer | x = 42 ÷ 4 = 10,50 € |
5. Les pourcentages
Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100. Dire « 25% » signifie « 25 pour 100 », soit 25/100 = 0,25.
| Opération | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Calculer un pourcentage | Nombre × pourcentage ÷ 100 | 30% de 250 = 250 × 30/100 = 75 |
| Appliquer une réduction | Prix × (1 − pourcentage/100) | −20% sur 80 € = 80 × 0,80 = 64 € |
| Appliquer une augmentation | Prix × (1 + pourcentage/100) | +15% sur 200 € = 200 × 1,15 = 230 € |
| Trouver le pourcentage | (Partie ÷ Total) × 100 | 15 filles sur 25 = 15/25 × 100 = 60% |
Pourcentages courants à connaître par cœur
| Pourcentage | Fraction | Décimal | Calcul rapide |
|---|---|---|---|
| 50% | 1/2 | 0,5 | Diviser par 2 |
| 25% | 1/4 | 0,25 | Diviser par 4 |
| 10% | 1/10 | 0,1 | Diviser par 10 |
| 75% | 3/4 | 0,75 | Diviser par 4, multiplier par 3 |
| 33,3% | 1/3 | 0,333… | Diviser par 3 |
6. Les échelles
Une échelle est un rapport de proportionnalité entre les distances sur une carte et les distances réelles.
| Échelle | Signification | Utilisation |
|---|---|---|
| 1/100 | 1 cm sur la carte = 1 m en réalité | Plan d’architecte |
| 1/25 000 | 1 cm sur la carte = 250 m en réalité | Carte de randonnée IGN |
| 1/1 000 000 | 1 cm sur la carte = 10 km en réalité | Carte routière |
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité
Énoncé : Le tableau ci-dessous est-il un tableau de proportionnalité ? Nombre de livres : 2, 5, 8. Prix : 14 €, 35 €, 56 €.
Exercice 2 — Produit en croix
Énoncé : 6 mètres de tissu coûtent 45 €. Combien coûtent 10 mètres ?
Exercice 3 — Pourcentage
Énoncé : Un pantalon coûte 65 € et bénéficie d’une réduction de 30%. Quel est le prix après réduction ?
(Ou directement : 65 × 0,70 = 45,50 €.)
Exercice 4 — Trouver un pourcentage
Énoncé : Sur 30 élèves, 12 ont choisi l’espagnol. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
Exercice 5 — Échelle
Énoncé : Sur une carte à l’échelle 1/50 000, la distance entre deux villes est de 8 cm. Quelle est la distance réelle ?
8. Erreurs fréquentes à éviter
| Erreur | Pourquoi c’est faux | Bonne méthode |
|---|---|---|
| 20% de réduction sur 80 € = 80 − 20 = 60 € | 20% ≠ 20 €. Il faut calculer 20% de 80 | 80 × 0,20 = 16 €. Prix final = 64 € |
| Âge et taille sont proportionnels | Un enfant de 10 ans ne mesure pas le double d’un enfant de 5 ans | Vérifier que les quotients sont tous égaux |
| Confondre « augmenter de 15% » et « 15% du total » | Augmenter de 15% = × 1,15, pas × 0,15 | 200 € + 15% = 200 × 1,15 = 230 € |
| Oublier de convertir les unités dans les échelles | La carte est en cm, la réalité en km | Toujours convertir dans la même unité |
9. L’essentiel à retenir
| Notion | Formule / Règle |
|---|---|
| Coefficient | grandeur 2 ÷ grandeur 1 (doit être constant) |
| Produit en croix | Si a/b = c/d alors x = (b × c) / a |
| Pourcentage d’un nombre | Nombre × pourcentage / 100 |
| Réduction de p% | Prix × (1 − p/100) |
| Augmentation de p% | Prix × (1 + p/100) |
| Échelle | Distance réelle = distance carte × dénominateur |