Proportionnalité et Pourcentages en 5ème 📊

Cours complet : tableaux, coefficient, produit en croix, pourcentages et exercices corrigés

La proportionnalité est un concept fondamental en maths et dans la vie quotidienne : recettes de cuisine, prix au kilo, cartes géographiques, pourcentages de réduction… En 5ème, on apprend à reconnaître une situation de proportionnalité, à utiliser le coefficient de proportionnalité, la technique du produit en croix (règle de trois), et à calculer des pourcentages. Ce cours inclut des exercices corrigés et les pièges fréquents à éviter.

📋 Sommaire

📐 Qu’est-ce que la Proportionnalité ?

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on peut passer de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.

Situation Proportionnelle ? Explication
Prix au kilo ✅ Oui 2 fois plus de kilos = 2 fois plus cher
Âge et taille d’un enfant ❌ Non Un enfant de 10 ans n’est pas 2× plus grand qu’à 5 ans
Distance et temps (vitesse constante) ✅ Oui 2× plus de temps = 2× plus de distance
Côté et aire d’un carré ❌ Non Côté × 2 → aire × 4 (pas × 2)

🔢 Coefficient de Proportionnalité

Le coefficient est le nombre par lequel on multiplie : grandeur 2 = coefficient × grandeur 1. Pour le trouver, on divise : coefficient = grandeur 2 ÷ grandeur 1.

Situation Calcul Coefficient
3 kg → 7,50 € 7,50 ÷ 3 2,50 €/kg
5 h → 400 km 400 ÷ 5 80 km/h
4 personnes → 200 g de farine 200 ÷ 4 50 g/personne

Vérification : dans un tableau, tous les quotients (2ème ligne ÷ 1ère ligne) doivent donner le même nombre. Si un seul diffère, ce n’est pas proportionnel.

📋 Tableaux de Proportionnalité

Propriétés utiles : dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner des colonnes, soustraire des colonnes, ou multiplier une colonne par un nombre.

Croissants 1 3 5 8 (= 3+5) 10
Prix (€) 1,20 3,60 6,00 9,60 (= 3,60+6) 12,00

✖️ Le Produit en Croix (Règle de Trois)

Le produit en croix est la méthode la plus rapide pour trouver une valeur manquante. Si on a deux rapports égaux a/b = c/d, alors a × d = b × c.

Méthode concrète : 4 stylos coûtent 6 €. Combien coûtent 7 stylos ?

Étape Calcul
1. Poser le tableau 4 stylos → 6 € / 7 stylos → x €
2. Produit en croix x = (7 × 6) ÷ 4
3. Calculer x = 42 ÷ 4 = 10,50 €

Alternative : on peut aussi passer par le coefficient unitaire (prix d’un stylo) : 6 ÷ 4 = 1,50 €/stylo, puis 1,50 × 7 = 10,50 €. Le résultat est le même.

💯 Les Pourcentages

Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100. Dire « 25% » signifie « 25 pour 100 », soit 25/100 = 0,25.

Opération Formule Exemple
Calculer un pourcentage d’un nombre Nombre × pourcentage ÷ 100 30% de 250 = 250 × 30/100 = 75
Appliquer une réduction Prix × (1 − pourcentage/100) −20% sur 80 € = 80 × 0,80 = 64 €
Appliquer une augmentation Prix × (1 + pourcentage/100) +15% sur 200 € = 200 × 1,15 = 230 €
Trouver le pourcentage (Partie ÷ Total) × 100 15 filles sur 25 élèves = 15/25 × 100 = 60%

Pourcentages courants à connaître par cœur :

Pourcentage Fraction Décimal Calcul rapide
50% 1/2 0,5 Diviser par 2
25% 1/4 0,25 Diviser par 4
10% 1/10 0,1 Diviser par 10
75% 3/4 0,75 Diviser par 4, multiplier par 3
33,3% 1/3 0,333… Diviser par 3

🗺️ Les Échelles

Une échelle est un rapport de proportionnalité entre les distances sur une carte et les distances réelles.

Formule : Échelle = distance sur la carte ÷ distance réelle (dans la même unité).

Échelle Signification 1 cm sur la carte =
1/100 Plan d’architecte 1 m en réalité
1/25 000 Carte de randonnée IGN 250 m en réalité
1/1 000 000 Carte routière 10 km en réalité

✏️ Exercices Corrigés

Exercice 1 — Reconnaître la proportionnalité

Énoncé : Le tableau ci-dessous est-il un tableau de proportionnalité ? Nombre de livres : 2, 5, 8. Prix : 14 €, 35 €, 56 €.

Correction : 14/2 = 7, 35/5 = 7, 56/8 = 7. Tous les quotients sont égaux → oui, c’est proportionnel (coefficient = 7 €/livre).

Exercice 2 — Produit en croix

Énoncé : 6 mètres de tissu coûtent 45 €. Combien coûtent 10 mètres ?

Correction : x = (10 × 45) / 6 = 450 / 6 = 75 €.

Exercice 3 — Pourcentage

Énoncé : Un pantalon coûte 65 € et bénéficie d’une réduction de 30%. Quel est le prix après réduction ?

Correction : Réduction = 65 × 30/100 = 19,50 €. Prix final = 65 − 19,50 = 45,50 €. (Ou directement : 65 × 0,70 = 45,50 €.)

Exercice 4 — Trouver un pourcentage

Énoncé : Sur 30 élèves, 12 ont choisi l’espagnol. Quel pourcentage cela représente-t-il ?

Correction : (12 ÷ 30) × 100 = 0,4 × 100 = 40%.

Exercice 5 — Échelle

Énoncé : Sur une carte à l’échelle 1/50 000, la distance entre deux villes est de 8 cm. Quelle est la distance réelle ?

Correction : Distance réelle = 8 × 50 000 = 400 000 cm = 4 000 m = 4 km.

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

❌ Erreur Pourquoi c’est faux ✅ Bonne méthode
20% de réduction sur 80 € = 80 − 20 = 60 € 20% ≠ 20 €. Il faut calculer 20% de 80 80 × 0,20 = 16 €. Prix final = 64 €
Dire que l’âge et la taille sont proportionnels Un enfant de 10 ans ne mesure pas le double d’un enfant de 5 ans Vérifier que les quotients sont tous égaux
Confondre « augmenter de 15% » et « 15% du total » Augmenter de 15% = × 1,15, pas × 0,15 200 € + 15% = 200 × 1,15 = 230 €
Oublier de convertir les unités dans les échelles La carte est en cm, la réalité en km → convertir ! Toujours convertir dans la même unité

📝 L’Essentiel à Retenir

Notion Formule / Règle
Coefficient grandeur 2 ÷ grandeur 1 (doit être constant)
Produit en croix Si a/b = c/d alors x = (b × c) / a
Pourcentage d’un nombre Nombre × pourcentage / 100
Réduction de p% Prix × (1 − p/100)
Augmentation de p% Prix × (1 + p/100)
Échelle Distance réelle = distance carte × dénominateur

❓ Questions Fréquentes

C’est quoi la règle de trois ?

La règle de trois est un autre nom pour le produit en croix. Si 4 pommes coûtent 3 €, combien coûtent 7 pommes ? On fait : (7 × 3) / 4 = 5,25 €. C’est la méthode la plus utilisée pour résoudre les problèmes de proportionnalité.

Comment calculer un pourcentage sans calculatrice ?

Décomposez ! Pour calculer 15% de 80 : 10% de 80 = 8, et 5% de 80 = 4 (la moitié de 10%). Donc 15% de 80 = 8 + 4 = 12. Les pourcentages 10%, 50% et 25% sont les plus faciles à calculer de tête.

Est-ce que 0% et 100% existent ?

Oui. 0% d’un nombre = 0 (rien du tout). 100% d’un nombre = le nombre lui-même (la totalité). On peut même avoir plus de 100% : 150% de 200 = 300.

Comment savoir si un tableau est proportionnel ?

Calculer tous les quotients (2ème ligne ÷ 1ère ligne). S’ils sont tous égaux, c’est proportionnel. Si un seul diffère, ce n’est pas proportionnel.

Quelle est la différence entre une fraction et un pourcentage ?

Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100. 25% = 25/100 = 1/4. Les pourcentages sont plus pratiques pour comparer (« 25% des élèves » est plus parlant que « 1/4 des élèves » dans la vie courante).

C’est quoi un coefficient multiplicateur ?

C’est le nombre par lequel on multiplie directement pour appliquer une variation. Pour une réduction de 20%, le coefficient est 0,80 (car 1 − 0,20 = 0,80). Pour une augmentation de 15%, c’est 1,15. C’est plus rapide que de calculer la réduction puis la soustraire.

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