Pourcentages et Proportions — Tage Mage 📊
Variations, pourcentages successifs, proportionnalité, mélanges et échelles — le cours complet pour le sous-test Calcul
Les bases des pourcentages
| On cherche | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Le pourcentage d’un nombre | p% de N = N × p/100 | 15% de 240 = 240 × 0,15 = 36 |
| Quel pourcentage A est de B | % = (A/B) × 100 | 36 sur 240 = (36/240)×100 = 15% |
| Le total connaissant p% et la partie | Total = Partie × 100/p | 36 représente 15% de ? → 36 × 100/15 = 240 |
| Pour calculer | Méthode rapide | Exemple (sur 360) |
|---|---|---|
| 10% | Diviser par 10 | 36 |
| 5% | La moitié de 10% | 18 |
| 1% | Diviser par 100 | 3,6 |
| 20% | Diviser par 5 | 72 |
| 25% | Diviser par 4 | 90 |
| 15% | 10% + 5% | 36 + 18 = 54 |
| 30% | 3 × 10% | 3 × 36 = 108 |
| 75% | 3 × 25% | 3 × 90 = 270 |
🚀 Astuce : p% de A = A% de p. Donc 8% de 50 = 50% de 8 = 4. Choisissez toujours le calcul le plus simple.
Augmentation et diminution
| Variation | CM | Variation | CM |
|---|---|---|---|
| +5% | 1,05 | −5% | 0,95 |
| +10% | 1,10 | −10% | 0,90 |
| +20% | 1,20 | −20% | 0,80 |
| +25% | 1,25 | −25% | 0,75 |
| +50% | 1,50 | −50% | 0,50 |
| +100% | 2,00 | −100% | 0 |
Exemple : Un prix passe de 80 € à 92 €.
→ Variation = (92−80)/80 × 100 = 12/80 × 100 = +15%
⚠️ Piège : Le taux de variation se calcule toujours par rapport à la valeur initiale, jamais par rapport à la valeur finale. Passer de 80 à 92 = +15%. Mais passer de 92 à 80 = −13% (pas −15%).
Pourcentages successifs
Exemple 1 : +20% puis +10%
→ 1,20 × 1,10 = 1,32 → augmentation globale de 32% (pas 30%)
Exemple 2 : +30% puis −20%
→ 1,30 × 0,80 = 1,04 → augmentation globale de 4% (pas +10%)
Exemple 3 : −10% puis −10%
→ 0,90 × 0,90 = 0,81 → diminution globale de 19% (pas 20%)
On ne revient jamais au point de départ. On perd toujours (p/100)² :
| Variation | CM global | Perte nette |
|---|---|---|
| +10% puis −10% | 0,99 | −1% |
| +20% puis −20% | 0,96 | −4% |
| +25% puis −25% | 0,9375 | −6,25% |
| +50% puis −50% | 0,75 | −25% |
Retrouver la valeur initiale
Exemple : Après une hausse de 25%, un article coûte 150 €. Quel était le prix initial ?
→ Vi = 150 / 1,25 = 120 €
⚠️ Piège : Beaucoup de candidats calculent 150 − 25% de 150 = 150 − 37,5 = 112,5 €. C’est FAUX. On ne peut pas soustraire 25% de la valeur finale — il faut diviser par le CM.
Après une remise de 30%, un article coûte 84 €. Quel était le prix initial ?
→ Vi = 84 / 0,70 = 120 €
Mélanges et moyennes pondérées
Exemple : On mélange 3 L d’une solution à 20% et 2 L d’une solution à 50%.
→ Cf = (0,20×3 + 0,50×2) / (3+2) = (0,60 + 1,00) / 5 = 1,60 / 5 = 32%
Exemple : 30 élèves ont 12/20 de moyenne, 20 élèves ont 15/20.
→ M = (30×12 + 20×15) / (30+20) = (360+300)/50 = 660/50 = 13,2/20
💡 La moyenne pondérée est toujours « tirée » vers le groupe le plus nombreux. Ici, le groupe de 30 (moyenne 12) « pèse plus » que le groupe de 20 (moyenne 15), donc la moyenne globale (13,2) est plus proche de 12 que de 15.
Échelles et proportionnalité
| Proportionnalité directe | Proportionnalité inverse | |
|---|---|---|
| Relation | y = k × x | y = k / x (ou x × y = k) |
| Quand x double | y double aussi | y est divisé par 2 |
| Exemple | Prix et quantité (prix unitaire fixe) | Vitesse et temps (distance fixe) |
| Produit en croix | a/b = c/d → a×d = b×c | a×b = c×d |
Directe : Si 5 kg de pommes coûtent 12 €, combien coûtent 8 kg ?
→ 5/12 = 8/x → x = 8×12/5 = 19,20 €
Inverse : 6 ouvriers mettent 10 jours. Combien de jours pour 15 ouvriers ?
→ 6×10 = 15×x → x = 60/15 = 4 jours
Exemple : Échelle 1/25 000. 4 cm sur la carte = ?
→ Distance réelle = 4 × 25 000 = 100 000 cm = 1 km
Questions fréquentes
Tage Mage — Pourcentages et proportions
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