Critères de Divisibilité — Tage Mage 🔢
Toutes les règles de divisibilité de 2 à 13, PGCD, PPCM, décomposition en facteurs premiers — indispensable pour le sous-test Calcul
Tableau récapitulatif
| Diviseur | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8) | 476 → oui |
| 3 | La somme des chiffres est divisible par 3 | 528 → 5+2+8=15 → oui |
| 4 | Les 2 derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 | 732 → 32÷4=8 → oui |
| 5 | Le dernier chiffre est 0 ou 5 | 145 → oui |
| 6 | Divisible par 2 ET par 3 | 234 → pair + 2+3+4=9 → oui |
| 7 | Retrancher 2× le dernier chiffre du reste | 371 → 37−2×1=35 → oui |
| 8 | Les 3 derniers chiffres forment un nombre divisible par 8 | 5120 → 120÷8=15 → oui |
| 9 | La somme des chiffres est divisible par 9 | 738 → 7+3+8=18 → oui |
| 10 | Le dernier chiffre est 0 | 450 → oui |
| 11 | La somme alternée des chiffres est divisible par 11 | 9174 → 9−1+7−4=11 → oui |
| 12 | Divisible par 3 ET par 4 | 276 → 2+7+6=15(÷3) + 76÷4=19 → oui |
| 13 | Ajouter 4× le dernier chiffre au reste | 286 → 28+4×6=52 → 52÷13=4 → oui |
🚀 Priorité de mémorisation : Au Tage Mage, les critères de 2, 3, 4, 5, 6, 9 sont indispensables (90% des questions). Les critères de 7, 8, 11 sont utiles. Les critères de 12 et 13 sont rares mais peuvent faire la différence.
Critères de base (2, 3, 4, 5)
Règle : Le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8).
• 1 574 → dernier chiffre 4 → divisible par 2
• 3 847 → dernier chiffre 7 → non divisible par 2
Règle : La somme de tous les chiffres est divisible par 3.
• 1 527 → 1+5+2+7 = 15 → 15÷3=5 → oui
• 4 913 → 4+9+1+3 = 17 → 17÷3 = 5,67 → non
💡 Raccourci : Vous pouvez « barrer » les chiffres dont la somme fait 9 (ou un multiple de 9) au fur et à mesure. Exemple : 5 274 → barrez 5+4=9 → reste 2+7=9 → barrez aussi → somme = 0 → divisible par 3 (et par 9).
Règle : Les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
• 3 516 → 16÷4=4 → oui
• 2 738 → 38÷4=9,5 → non
💡 Astuce : Si les deux derniers chiffres forment un nombre pair mais pas divisible par 4, essayez de le diviser par 2 mentalement : si le résultat est encore pair → divisible par 4.
Règle : Le dernier chiffre est 0 ou 5.
• 4 730 → oui
• 8 125 → oui
• 6 937 → non
Critères intermédiaires (6, 8, 9, 10)
Règle : Divisible par 2 ET par 3 (les deux conditions simultanément).
• 234 → pair ✓ + 2+3+4=9 divisible par 3 ✓ → divisible par 6
• 531 → impair ✗ → non (même si 5+3+1=9 est divisible par 3)
Règle : Les trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8.
• 17 320 → 320÷8=40 → oui
• 5 214 → 214÷8=26,75 → non
💡 Astuce : Divisez le nombre à 3 chiffres successivement par 2, trois fois. Si chaque division tombe juste → divisible par 8. Ex : 320 → 160 → 80 → 40 ✓
Règle : La somme de tous les chiffres est divisible par 9.
• 2 745 → 2+7+4+5 = 18 → 18÷9=2 → oui
• 4 321 → 4+3+2+1 = 10 → 10÷9 = 1,11 → non
⚠️ Attention : Divisible par 9 → automatiquement divisible par 3. Mais divisible par 3 ≠ divisible par 9. Exemple : 12 est divisible par 3 mais pas par 9.
Règle : Le dernier chiffre est 0. C’est le critère le plus simple.
Critères avancés (7, 11, 12, 13)
Règle : On retranche au nombre formé par les chiffres restants 2 fois le dernier chiffre. On répète jusqu’à obtenir un petit nombre, et on vérifie s’il est divisible par 7.
Exemple : 371
→ 37 − 2×1 = 37 − 2 = 35 → 35÷7=5 → oui
Exemple : 1 246
→ 124 − 2×6 = 124 − 12 = 112 → 11 − 2×2 = 7 → oui
Règle : La somme alternée des chiffres (en partant de la gauche : +, −, +, −…) est divisible par 11 (y compris 0).
Exemple : 9 174
→ +9 − 1 +7 − 4 = 11 → 11÷11=1 → oui
Exemple : 8 294
→ +8 − 2 + 9 − 4 = 11 → oui
Exemple : 123 456
→ +1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3 → non
Règle : Divisible par 3 ET par 4 simultanément.
• 276 → somme 2+7+6=15 divisible par 3 ✓ + 76÷4=19 ✓ → divisible par 12
Règle : On ajoute au nombre formé par les chiffres restants 4 fois le dernier chiffre.
Exemple : 286
→ 28 + 4×6 = 28 + 24 = 52 → 52÷13=4 → oui
Exemple : 507
→ 50 + 4×7 = 50 + 28 = 78 → 78÷13=6 → oui
PGCD et PPCM
C’est la base du PGCD et du PPCM. On décompose chaque nombre en produit de nombres premiers :
Exemple : 360 = 2³ × 3² × 5 — 540 = 2² × 3³ × 5
💡 Méthode : Divisez successivement par 2 (tant que c’est pair), puis par 3 (tant que la somme des chiffres est divisible par 3), puis par 5, 7, 11… jusqu’à obtenir 1.
Définition : Le plus grand nombre qui divise à la fois a et b.
Exemple : PGCD(360, 540)
→ 360 = 2³ × 3² × 5 — 540 = 2² × 3³ × 5
→ Facteurs communs : 2, 3, 5 → min des exposants : 2², 3², 5¹
→ PGCD = 4 × 9 × 5 = 180
Usage Tage Mage : simplifier des fractions, trouver le plus grand carreau pour paver un rectangle, problèmes de répartition équitable.
Définition : Le plus petit nombre divisible à la fois par a et par b.
Exemple : PPCM(360, 540)
→ Tous les facteurs : 2, 3, 5 → max des exposants : 2³, 3³, 5¹
→ PPCM = 8 × 27 × 5 = 1 080
Usage Tage Mage : problèmes de rendez-vous cycliques (« tous les combien deux événements coïncident »), mise au même dénominateur.
Vérification : PGCD(360,540) × PPCM(360,540) = 180 × 1 080 = 194 400 = 360 × 540 ✓
🚀 Astuce : Si vous connaissez le PGCD, vous pouvez en déduire le PPCM (et inversement) sans recalculer : PPCM = a × b ÷ PGCD.
Exercices types corrigés
Question : 4 536 est-il divisible par 2, 3, 4, 6, 8, 9 ?
| Diviseur | Test | Résultat |
|---|---|---|
| 2 | Dernier chiffre 6 (pair) | ✓ |
| 3 | 4+5+3+6 = 18 → divisible par 3 | ✓ |
| 4 | 36 ÷ 4 = 9 | ✓ |
| 6 | Divisible par 2 et par 3 | ✓ |
| 8 | 536 ÷ 8 = 67 | ✓ |
| 9 | 4+5+3+6 = 18 → divisible par 9 | ✓ |
Question : Simplifier 252/360
→ 252 = 2² × 3² × 7 — 360 = 2³ × 3² × 5
→ PGCD = 2² × 3² = 36
→ 252÷36 = 7 — 360÷36 = 10 → 7/10
Question : Un feu A passe au vert toutes les 40 secondes. Un feu B passe au vert toutes les 60 secondes. S’ils sont verts en même temps à t=0, quand seront-ils de nouveau verts simultanément ?
→ PPCM(40, 60) → 40 = 2³ × 5 — 60 = 2² × 3 × 5 → PPCM = 2³ × 3 × 5 = 120 secondes = 2 minutes
Question : On veut carreler un sol de 168 cm × 120 cm avec des carreaux carrés identiques, sans découpe. Quelle est la plus grande taille possible ?
→ PGCD(168, 120) → 168 = 2³ × 3 × 7 — 120 = 2³ × 3 × 5 → PGCD = 2³ × 3 = 24 cm
→ Nombre de carreaux : (168÷24) × (120÷24) = 7 × 5 = 35 carreaux
Questions fréquentes
Tage Mage — Critères de divisibilité
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