Probabilités et Dénombrement — Tage Mage 🎲

Arrangements, combinaisons, probabilités conditionnelles, arbres de décision — tout maîtriser pour le sous-test Calcul

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📋 Sommaire

1. Factorielles et principes de base
5. Probabilités conditionnelles
2. Arrangements
6. Exercices types Tage Mage
3. Combinaisons
7. Pièges classiques
4. Probabilités — les bases
8. Questions fréquentes

SECTION 01

Factorielles et principes de base

🔢 La factorielle

La factorielle de n, notée n!, est le produit de tous les entiers de 1 à n :

n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1

n	n!	n	n!
0	1 (par convention)	6	720
1	1	7	5 040
2	2	8	40 320
3	6	9	362 880
4	24	10	3 628 800
5	120

💡 Astuce : Mémorisez les factorielles de 1 à 10. Les questions Tage Mage dépassent rarement 10!. Connaître ces valeurs vous fait gagner un temps précieux.

🧱 Les deux principes fondamentaux

Principe	Règle	Exemple
Principe multiplicatif (ET / puis)	On multiplie le nombre de choix à chaque étape	3 entrées ET 4 plats → 3 × 4 = 12 menus
Principe additif (OU / ou bien)	On additionne le nombre de possibilités de chaque cas	Venir en bus (3 lignes) OU en métro (2 lignes) → 3 + 2 = 5 trajets

🚀 Règle d’or : « ET » → on multiplie. « OU » → on additionne. C’est la base de tout le dénombrement.

SECTION 02

Arrangements

🔀 Permutations

Une permutation de n éléments est un agencement de tous les éléments dans un ordre donné.

P(n) = n!

Exemple : De combien de façons peut-on ranger 5 livres sur une étagère ?
→ P(5) = 5! = 120 façons

📋 Arrangements (ordre important, pas de répétition)

Un arrangement consiste à choisir p éléments parmi n en tenant compte de l’ordre.

A(n, p) = n! / (n−p)!

Exemple : 8 coureurs, combien de podiums possibles (1er, 2e, 3e) ?
→ A(8, 3) = 8! / 5! = 8 × 7 × 6 = 336 podiums

💡 Astuce calcul : Pas besoin de calculer les factorielles complètes. A(n, p) = le produit des p plus grands facteurs de n! → A(8,3) = 8 × 7 × 6.

🔁 Arrangements avec répétition

Si la répétition est autorisée (ex. : code PIN, mot de passe) :

n^p

Exemple : Combien de codes PIN à 4 chiffres (0-9) ?
→ 10⁴ = 10 000 codes

🧭 Quand utiliser les arrangements ?

Posez-vous la question : l’ordre compte-t-il ?

⚠️ Indices que l’ordre compte : classement, podium, code, mot de passe, numéro de téléphone, placement de personnes sur des chaises, rang, position.

SECTION 03

Combinaisons

🤝 Combinaisons (ordre non important)

Une combinaison consiste à choisir p éléments parmi n sans tenir compte de l’ordre. On la note C(n, p) ou « n parmi p ».

C(n, p) = n! / (p! × (n−p)!)

Exemple : Choisir 3 délégués parmi 10 personnes ?
→ C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120 groupes

📊 Valeurs de C(n, p) à connaître

C(n, p)	Valeur	C(n, p)	Valeur
C(n, 0)	1	C(6, 2)	15
C(n, 1)	n	C(6, 3)	20
C(n, n)	1	C(7, 2)	21
C(4, 2)	6	C(7, 3)	35
C(5, 2)	10	C(8, 2)	28
C(5, 3)	10	C(10, 3)	120

💡 Propriété de symétrie : C(n, p) = C(n, n−p). Donc C(10, 7) = C(10, 3) = 120. Calculez toujours avec le plus petit des deux.

🧭 Quand utiliser les combinaisons ?

Indices que l’ordre ne compte PAS : équipe, comité, groupe, délégation, poignées de main, diagonales d’un polygone, tirage de cartes ou de boules.

⚡ Résumé : arrangement vs combinaison

	L’ordre compte	L’ordre ne compte pas
Sans répétition	A(n, p) = n!/(n−p)!	C(n, p) = n!/(p!(n−p)!)
Avec répétition	nᵖ	Rare au Tage Mage

SECTION 04

Probabilités — les bases

🎯 Définition et formule fondamentale

La probabilité d’un événement A est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre total de cas possibles (dans une situation d’équiprobabilité) :

P(A) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles

La probabilité est toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain).

📐 Formules essentielles

Formule	Signification
P(Ā) = 1 − P(A)	Probabilité du contraire (complémentaire)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)	Probabilité de A ou B
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)	Si A et B sont incompatibles (mutuellement exclusifs)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)	Si A et B sont indépendants

🔄 Passer par le complémentaire

C’est l’astuce la plus puissante au Tage Mage. Quand on vous demande « au moins un… », il est presque toujours plus rapide de calculer le contraire :

P(au moins 1) = 1 − P(aucun)

Exemple : On lance 3 dés. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un 6 ?

→ P(aucun 6) = (5/6)³ = 125/216
→ P(au moins un 6) = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 42,1%

🚀 Réflexe : Dès que vous lisez « au moins un », « au moins une fois », pensez immédiatement au complémentaire. C’est la bonne méthode dans 90% des cas.

SECTION 05

Probabilités conditionnelles

🌿 Définition

La probabilité conditionnelle de A sachant B est la probabilité que A se réalise sachant que B est déjà réalisé :

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

🌳 Les arbres de probabilité

L’arbre est l’outil le plus sûr pour les problèmes en plusieurs étapes. Les règles :

Règle	Application
Chaque branche porte une probabilité	La somme des branches partant d’un même nœud = 1
Le long d’un chemin → on multiplie	P(A puis B) = P(A) × P(B\|A)
Entre chemins différents → on additionne	P(résultat) = somme des chemins y menant

Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire 2 boules sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 rouges ?

→ P(R₁) = 3/5
→ P(R₂ | R₁) = 2/4 = 1/2 (il reste 2 rouges sur 4 boules)
→ P(R₁ et R₂) = 3/5 × 1/2 = 3/10

🔄 Avec remise vs sans remise

	Avec remise	Sans remise
Principe	On remet l’élément après chaque tirage	L’élément tiré est retiré
Conséquence	Les tirages sont indépendants	Les tirages sont dépendants
Probabilités	Restent constantes	Changent à chaque tirage
Calcul	P(A) × P(A) × …	P(A₁) × P(A₂\|A₁) × …

⚠️ Attention : Au Tage Mage, lisez bien l’énoncé. La mention « sans remise » (ou son absence) change radicalement le calcul. En cas de doute, supposez sans remise — c’est le cas le plus fréquent.

📊 Formule des probabilités totales

Si B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de l’univers (événements incompatibles qui couvrent tous les cas) :

P(A) = P(A|B₁)×P(B₁) + P(A|B₂)×P(B₂) + … + P(A|Bₙ)×P(Bₙ)

Exemple : Usine avec 2 machines. Machine 1 produit 60% des pièces (2% défectueuses). Machine 2 produit 40% (5% défectueuses). Quelle est la probabilité qu’une pièce soit défectueuse ?

→ P(D) = P(D|M₁)×P(M₁) + P(D|M₂)×P(M₂) = 0,02 × 0,6 + 0,05 × 0,4 = 0,012 + 0,02 = 0,032 = 3,2%

SECTION 06

Exercices types Tage Mage

🃏 Type 1 — Poignées de main / diagonales

Question : 10 personnes se serrent la main. Combien de poignées de main ?

Méthode : Chaque poignée est un couple de 2 personnes, l’ordre ne compte pas → combinaison.

C(10, 2) = (10 × 9) / (2 × 1) = 45

💡 Même formule pour les diagonales d’un polygone à n côtés : C(n, 2) − n = n(n−1)/2 − n = n(n−3)/2

🎰 Type 2 — Codes et mots de passe

Question : Combien de plaques d’immatriculation AB-123-CD (2 lettres, 3 chiffres, 2 lettres) ?

Méthode : L’ordre compte, la répétition est autorisée → nᵖ pour chaque groupe.

26² × 10³ × 26² = 676 × 1000 × 676 = 456 976 000

🎲 Type 3 — Lancers de dés

Question : On lance 2 dés. Quelle est la probabilité que la somme fasse 7 ?

Méthode : Nombre total de cas = 6 × 6 = 36. Cas favorables pour une somme de 7 : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 cas.

P(somme = 7) = 6 / 36 = 1/6

🏆 Type 4 — Constitution d’équipes

Question : Parmi 8 hommes et 5 femmes, combien de comités de 4 personnes avec exactement 2 femmes ?

Méthode : On choisit 2 femmes parmi 5 ET 2 hommes parmi 8 :

C(5, 2) × C(8, 2) = 10 × 28 = 280

🎴 Type 5 — Tirages dans une urne

Question : Urne avec 4 rouges et 6 bleues. On tire 3 boules sans remise. Probabilité d’avoir exactement 2 rouges ?

Méthode : Cas favorables / cas totaux avec les combinaisons.

P = C(4,2) × C(6,1) / C(10,3) = (6 × 6) / 120 = 36/120 = 3/10

SECTION 07

Pièges classiques

🚨 Les 5 pièges les plus fréquents

Piège 1 — Confondre arrangement et combinaison

La question parle d’un classement, d’un podium, d’un code → arrangement (l’ordre compte). La question parle d’un groupe, d’une équipe, d’un tirage → combinaison (l’ordre ne compte pas).

Piège 2 — Oublier « avec ou sans remise »

Avec remise : les probabilités ne changent pas entre les tirages. Sans remise : il y a un élément de moins à chaque tirage. Le résultat peut être radicalement différent.

Piège 3 — Calculer directement « au moins un »

Ne faites jamais la liste de tous les cas pour « au moins 1 ». Passez par le complémentaire : P(au moins 1) = 1 − P(aucun). C’est plus rapide et sans erreur.

Piège 4 — Oublier de soustraire P(A ∩ B)

P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B). Si vous oubliez de soustraire l’intersection, vous comptez les cas communs en double.

Piège 5 — Confondre indépendance et incompatibilité

Indépendants : A ne change pas la probabilité de B → P(A∩B) = P(A)×P(B). Incompatibles : A et B ne peuvent pas arriver en même temps → P(A∩B) = 0. Ce n’est PAS la même chose.

FAQ

Questions fréquentes

Combien de questions de probabilités au Tage Mage ?

En moyenne 1 à 3 questions sur les 15 du sous-test Calcul portent sur les probabilités ou le dénombrement. Ce sont souvent les questions les plus discriminantes — les bien préparés les résolvent vite, les autres perdent beaucoup de temps.

Faut-il connaître la loi binomiale ?

Non, la loi binomiale n’est pas au programme du Tage Mage. Les probabilités testées restent au niveau 3ᵉ/Seconde : dénombrement, combinaisons, arbres, probabilités conditionnelles simples.

Comment savoir si c’est un arrangement ou une combinaison ?

Posez-vous la question : « Si je change l’ordre, est-ce un résultat différent ? ». Pour un podium oui (1er ≠ 2e), pour un groupe non (Alice-Bob = Bob-Alice). Ordre important → arrangement. Ordre indifférent → combinaison.

Comment s’entraîner efficacement ?

1) Mémorisez les factorielles de 1 à 10 et les C(n,p) courants. 2) Pour chaque exercice, identifiez d’abord si l’ordre compte et s’il y a remise. 3) Faites des annales en chronométrant — le temps est l’ennemi principal.

📚 Ressources Cours et Fiches

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Tage Mage — Probabilités et dénombrement