Équations et Inéquations — Tage Mage ✏️

1er et 2nd degré, systèmes, valeur absolue, inéquations — tout le programme du sous-test Calcul avec méthode et exemples

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📋 Sommaire

1. Équations du 1er degré
5. Valeur absolue
2. Systèmes de 2 équations
6. Inéquations
3. Équations du 2nd degré
7. Pièges classiques
4. Identités remarquables
8. Questions fréquentes

SECTION 01

Équations du 1er degré

📐 Forme et résolution

ax + b = 0 → x = −b / a

Méthode : isoler x en passant tout le reste de l’autre côté.

📝 Exemple 1

Résoudre : 3x − 7 = 2x + 5

→ 3x − 2x = 5 + 7 → x = 12

📝 Exemple 2 — avec fractions

Résoudre : (x+1)/3 = (2x−5)/4

→ Produit en croix : 4(x+1) = 3(2x−5) → 4x + 4 = 6x − 15 → −2x = −19 → x = 19/2 = 9,5

💡 Réflexe Tage Mage : Dès qu’il y a des fractions, multipliez tout par le PPCM des dénominateurs pour éliminer les fractions. C’est beaucoup plus rapide.

📝 Mise en équation — problème type

Problème : Paul a 3 fois l’âge de Marie. Dans 10 ans, il aura 2 fois son âge. Quels sont leurs âges ?

→ Soit m = âge de Marie. Paul = 3m.
→ Dans 10 ans : 3m + 10 = 2(m + 10) → 3m + 10 = 2m + 20 → m = 10
→ Marie : 10 ans, Paul : 30 ans

SECTION 02

Systèmes de 2 équations

🔀 Deux méthodes au choix

Méthode	Quand l’utiliser	Principe
Substitution	Quand une variable est facilement isolable	Exprimer x en fonction de y dans une équation, remplacer dans l’autre
Combinaison	Quand les coefficients se prêtent à l’élimination	Multiplier les équations pour obtenir des coefficients opposés, puis additionner

📝 Exemple — Substitution

Système : x + y = 10 et 3x − y = 14

→ Éq. 1 : y = 10 − x → dans Éq. 2 : 3x − (10−x) = 14 → 4x − 10 = 14 → 4x = 24 → x = 6
→ y = 10 − 6 = 4 → x = 6, y = 4

📝 Exemple — Combinaison

Système : 2x + 3y = 16 et 5x − 3y = 5

→ Additionner directement (les 3y s’annulent) : 7x = 21 → x = 3
→ 2(3) + 3y = 16 → 3y = 10 → y = 10/3 → x = 3, y = 10/3

🚀 Astuce Tage Mage : Avant de résoudre, regardez ce qu’on vous demande. Parfois, on demande x+y ou xy, pas x et y séparément. Un système peut donner x+y directement sans résoudre complètement.

SECTION 03

Équations du 2nd degré

📐 Forme générale et discriminant

ax² + bx + c = 0

Δ = b² − 4ac

Cas	Nombre de solutions	Formule
Δ > 0	2 solutions	x = (−b ± √Δ) / 2a
Δ = 0	1 solution (double)	x = −b / 2a
Δ < 0	0 solution (dans ℝ)	Pas de solution réelle

📝 Exemple

Résoudre : x² − 5x + 6 = 0

→ Δ = 25 − 24 = 1 > 0 → deux solutions
→ x₁ = (5+1)/2 = 3 — x₂ = (5−1)/2 = 2

⚡ Relations de Viète (somme et produit des racines)

Si x₁ et x₂ sont les racines de ax² + bx + c = 0 :

x₁ + x₂ = −b/a x₁ × x₂ = c/a

Vérification : x² − 5x + 6 → somme = 5 = 3+2 ✓ — produit = 6 = 3×2 ✓

💡 Super utile au Tage Mage : Si on demande x₁ + x₂ ou x₁ × x₂, pas besoin de calculer le discriminant ni les racines. Il suffit de lire les coefficients.

🎯 Factorisation rapide (quand c’est possible)

Avant de sortir le discriminant, essayez de factoriser directement en cherchant deux nombres dont la somme = −b/a et le produit = c/a :

Exemple : x² − 5x + 6 → deux nombres de somme 5 et produit 6 → 2 et 3 → (x−2)(x−3) = 0

Exemple : x² + x − 12 → somme −1 et produit −12 → −4 et 3 → (x−3)(x+4) = 0

🚀 Gain de temps : La factorisation directe prend 5 secondes contre 30 secondes pour le discriminant. Essayez-la systématiquement pour les petits coefficients (a=1, c ≤ 20).

SECTION 04

Identités remarquables

🔑 Les 3 identités à connaître

Identité	Développement
(a + b)²	a² + 2ab + b²
(a − b)²	a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b)	a² − b²

📝 Applications fréquentes au Tage Mage

Situation	Identité utile	Exemple
Calculer un carré rapidement	(a ± b)²	52² = (50+2)² = 2500 + 200 + 4 = 2704
Multiplier deux nombres proches	(a+b)(a−b) = a²−b²	48 × 52 = 50² − 2² = 2500 − 4 = 2496
Factoriser a²−b²	(a+b)(a−b)	x²−9 = (x+3)(x−3)
Reconnaître un carré parfait	(a ± b)²	x²+6x+9 = (x+3)²

⚠️ Erreur classique : (a+b)² ≠ a² + b². Il manque le terme 2ab. C’est le piège le plus récurrent au Tage Mage sur les identités remarquables.

SECTION 05

Valeur absolue

📐 Définition et propriétés

|x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x < 0

La valeur absolue représente la distance de x à 0 sur la droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle.

📝 Résoudre |expression| = k

|A| = k ⟺ A = k ou A = −k (si k ≥ 0)

Exemple : |2x − 3| = 7

→ 2x − 3 = 7 → x = 5 ou 2x − 3 = −7 → x = −2
→ x = 5 ou x = −2

📝 Résoudre |expression| < k et |expression| > k

|A| < k ⟺ −k < A < k

|A| > k ⟺ A < −k ou A > k

Exemple : |x − 4| < 3 → −3 < x − 4 < 3 → 1 < x < 7 → x ∈ ]1 ; 7[

SECTION 06

Inéquations

📐 Règles fondamentales

Opération	Effet sur le sens de l’inégalité
Ajouter/soustraire un nombre	Pas de changement
Multiplier/diviser par un nombre positif	Pas de changement
Multiplier/diviser par un nombre négatif	⚠️ ON INVERSE le sens

⚠️ Le piège n°1 : Oublier d’inverser le signe quand on multiplie ou divise par un nombre négatif. C’est la source d’erreur la plus fréquente, et le Tage Mage le teste systématiquement.

📝 Exemple — Inéquation du 1er degré

Résoudre : −3x + 5 > 14

→ −3x > 9 → x < −3 (on divise par −3, on inverse le signe)
→ x ∈ ]−∞ ; −3[

📝 Inéquation du 2nd degré — tableau de signes

Résoudre : x² − 5x + 6 > 0

→ Factorisation : (x−2)(x−3) > 0 → racines : 2 et 3

x		2		3
(x−2)	−	0	+	+	+
(x−3)	−	−	−	0	+
Produit	+	0	−	0	+

→ Positif quand x < 2 ou x > 3 → x ∈ ]−∞ ; 2[ ∪ ]3 ; +∞[

🚀 Règle rapide : Pour ax² + bx + c > 0 avec a > 0 et deux racines r₁ < r₂ : le produit est positif à l’extérieur des racines (x < r₁ ou x > r₂) et négatif entre les racines.

SECTION 07

Pièges classiques

Piège 1 — Oublier qu’une racine carrée est toujours positive

√(x²) = |x|, pas x. Si x = −3, alors √(x²) = √9 = 3 = |−3|. Au Tage Mage, quand on prend la racine d’un carré, il faut considérer les deux signes possibles.

Piège 2 — Diviser par une expression qui peut être nulle

Dans l’équation x(x−3) = 2x, on ne peut PAS simplifier par x (car x peut être 0). Il faut développer : x² − 3x = 2x → x² − 5x = 0 → x(x−5) = 0 → x = 0 ou x = 5. Simplifier par x fait perdre la solution x = 0.

Piège 3 — (a+b)² ≠ a² + b²

Il manque le double produit 2ab. C’est l’erreur la plus courante au Tage Mage. (3+4)² = 49, pas 25.

Piège 4 — Oublier d’inverser le signe d’une inéquation

Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse. −2x > 6 → x < −3 (pas x > −3).

Piège 5 — x² = 9 a DEUX solutions

x = 3 ET x = −3. Si l’énoncé ne précise pas que x est positif, les deux solutions sont valables. Beaucoup de candidats oublient la solution négative.

FAQ

Questions fréquentes

Quel niveau de maths est demandé au Tage Mage ?

Le programme correspond grosso modo au niveau 3ᵉ/Seconde. Les équations du 2nd degré sont le maximum. Pas de logarithmes, pas de dérivées, pas de nombres complexes.

Faut-il connaître le discriminant par cœur ?

Oui, absolument. La formule Δ = b²−4ac et les solutions x = (−b±√Δ)/2a doivent être automatiques. Mais au Tage Mage, essayez d’abord la factorisation directe — elle est plus rapide quand les coefficients sont petits.

Combien de questions portent sur les équations ?

En moyenne 3 à 5 questions sur 15 dans le sous-test Calcul impliquent des équations ou des systèmes, souvent déguisés en problèmes concrets (âges, prix, distances). La mise en équation est une compétence clé.

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