Nombres Complexes : Cours Complet

Terminale maths expertes — Forme algébrique, module, argument, exponentielle, racines et applications géométriques

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2026
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✏️ Second degré

📋 Sommaire
1. L'ensemble ℂ et le nombre i
8. Formule d'Euler
2. Forme algébrique
9. Équations du 2nd degré dans ℂ
3. Conjugué d'un complexe
10. Racines n-ièmes de l'unité
4. Module d'un complexe
11. Applications géométriques
5. Plan complexe
12. Exercices types
6. Argument d'un complexe
13. Questions fréquentes
7. Forme trigonométrique et exponentielle

SECTION 01

L'ensemble ℂ et le nombre i

📌 Définition

On introduit un nombre i tel que :

i² = −1

L'ensemble des nombres complexes ℂ est l'ensemble des nombres de la forme a + bi, où a et b sont des réels.

📘 Inclusion des ensembles : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ. Tout réel a est un complexe (avec b=0). Les complexes « contiennent » tous les réels.
⚠️ i n'est pas un réel. On ne peut pas comparer deux complexes (pas d'ordre ≤ sur ℂ). On ne dit pas « z est positif/négatif ». On peut en revanche comparer leurs modules (qui sont des réels positifs).
Puissance de i i⁰ i¹ i² i³ i⁴ i⁵ i⁶ i⁷
Valeur 1 i −1 −i 1 i −1 −i
💡 Cycle de période 4 : Les puissances de i se répètent tous les 4. Pour iⁿ, calculer n mod 4 : reste 0→1, reste 1→i, reste 2→−1, reste 3→−i.

SECTION 02

Forme algébrique

📌 Définition

Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique :

z = a + bi avec a, b ∈ ℝ

a = Re(z) est la partie réelle. b = Im(z) est la partie imaginaire.

Opération Formule
Addition (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
Soustraction (a+bi) − (c+di) = (a−c) + (b−d)i
Multiplication (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
Division (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c−di)] / (c²+d²)
📝 Exemple : multiplication

(3+2i)(1−4i) = 3(1) + 3(−4i) + 2i(1) + 2i(−4i) = 3 − 12i + 2i − 8i²

= 3 − 10i − 8(−1) = 3 − 10i + 8 = 11 − 10i.

📝 Exemple : division

(2+3i)/(1−i) = (2+3i)(1+i) / ((1−i)(1+i)) = (2+2i+3i+3i²) / (1+1)

= (2+5i−3) / 2 = (−1+5i)/2 = −1/2 + 5i/2.

✅ Pour diviser : multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le dénominateur devient un réel (c²+d²).

SECTION 03

Conjugué d'un nombre complexe

📌 Définition

Le conjugué de z = a + bi est :

z̄ = a − bi

On change le signe de la partie imaginaire.

Propriété Formule
Somme z + z̄ = 2a = 2 Re(z)
Différence z − z̄ = 2bi = 2i Im(z)
Produit z × z̄ = a² + b² = |z|²
Conjugué de somme conj(z₁+z₂) = z̄₁ + z̄₂
Conjugué de produit conj(z₁×z₂) = z̄₁ × z̄₂
Conjugué de quotient conj(z₁/z₂) = z̄₁ / z̄₂
Double conjugaison conj(conj(z)) = z
z est réel z = z̄ ⟺ Im(z) = 0
z est imaginaire pur z = −z̄ ⟺ Re(z) = 0
📝 Exemple

z = 3−5i → z̄ = 3+5i. z×z̄ = 9+25 = 34 = |z|².

SECTION 04

Module d'un nombre complexe

📌 Définition

Le module de z = a + bi est la distance de z à l'origine dans le plan complexe :

|z| = √(a² + b²)
Propriété Formule
Module positif |z| ≥ 0, et |z|=0 ⟺ z=0
Module du conjugué |z̄| = |z|
Module du produit |z₁ × z₂| = |z₁| × |z₂|
Module du quotient |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|
Module d'une puissance |zⁿ| = |z|ⁿ
Inégalité triangulaire |z₁+z₂| ≤ |z₁|+|z₂|
z × z̄ |z|² = z × z̄
📝 Exemples

|3+4i| = √(9+16) = √25 = 5.

|1−i| = √(1+1) = √2.

|(3+4i)(1−i)| = 5 × √2 = 5√2.

📘 Distance entre deux points : Si z₁ et z₂ sont les affixes de A et B : AB = |z₂ − z₁|.

SECTION 05

Plan complexe

📌 Représentation

On associe à chaque complexe z = a + bi le point M(a;b) du plan muni du repère (O;→u;→v). L'axe des abscisses est l'axe réel, l'axe des ordonnées est l'axe imaginaire.

z est l'affixe du point M. M est l'image de z.

Complexe z Point M Position
3 + 2i M(3;2) 1er quadrant
−1 + 4i M(−1;4) 2ème quadrant
5 M(5;0) Axe réel
−3i M(0;−3) Axe imaginaire
0 O(0;0) Origine
💡 Interprétation géométrique : |z| = distance OM (rayon). arg(z) = angle entre l'axe réel et OM. Le conjugué z̄ est le symétrique de z par rapport à l'axe réel.

SECTION 06

Argument d'un nombre complexe

📌 Définition

L'argument de z ≠ 0 est l'angle θ entre l'axe réel positif et le vecteur →OM, mesuré en radians. On le note arg(z), défini modulo 2π.

z = a+bi ≠ 0 : cos(θ) = a/|z|, sin(θ) = b/|z|
Propriété Formule
Argument du produit arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) [2π]
Argument du quotient arg(z₁/z₂) = arg(z₁) − arg(z₂) [2π]
Argument de zⁿ arg(zⁿ) = n × arg(z) [2π]
Argument du conjugué arg(z̄) = −arg(z) [2π]
Argument de −z arg(−z) = arg(z) + π [2π]
📝 Exemples

z = 1+i : |z| = √2. cos(θ)=1/√2, sin(θ)=1/√2 → θ = π/4.

z = −√3+i : |z| = 2. cos(θ)=−√3/2, sin(θ)=1/2 → θ = 5π/6.

z = −2 : |z| = 2. θ = π.

z = 3i : |z| = 3. θ = π/2.

SECTION 07

Forme trigonométrique et exponentielle

📌 Les 3 formes d'un complexe
Forme Écriture Utilité
Algébrique z = a + bi Addition, soustraction
Trigonométrique z = r(cos θ + i sin θ) Interprétation géométrique
Exponentielle z = r eiθ Multiplication, puissances

Avec r = |z| et θ = arg(z).

✅ Passage algébrique → exponentielle :
1. Calculer r = |z| = √(a²+b²).
2. Trouver θ tel que cos θ = a/r et sin θ = b/r.
3. Écrire z = r eiθ.
📝 Exemple : z = 1+i

r = √2. θ = π/4. Forme exponentielle : z = √2 eiπ/4.

📝 Exemple : z = −3

r = 3. θ = π. z = 3 eiπ.

💡 Multiplier en forme exponentielle : r₁eiθ₁ × r₂eiθ₂ = r₁r₂ ei(θ₁+θ₂). On multiplie les modules, on additionne les arguments. C'est la grande puissance de cette écriture.

SECTION 08

Formule d'Euler et de Moivre

📌 Formule d'Euler
eiθ = cos θ + i sin θ

En particulier : eiπ = −1 (identité d'Euler, « la plus belle formule des maths »).

📌 Formule de Moivre
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)

Autrement dit : (eiθ)ⁿ = einθ.

Formule Expression
cos θ (eiθ + e−iθ) / 2
sin θ (eiθ − e−iθ) / (2i)
|eiθ| 1 (toujours)
📝 Exemple : linéariser cos²θ avec Euler

cos²θ = ((eiθ+e−iθ)/2)² = (e2iθ+2+e−2iθ)/4 = (2+2cos 2θ)/4 = (1+cos 2θ)/2.

On retrouve la formule de linéarisation de trigonométrie !

📝 Exemple : calculer (1+i)¹⁰

1+i = √2 eiπ/4. (1+i)¹⁰ = (√2)¹⁰ × ei×10π/4 = 2⁵ × ei×5π/2 = 32 × eiπ/2 = 32i.

(Car 5π/2 = 2π + π/2, donc ei5π/2 = eiπ/2 = i.)

SECTION 09

Équations du second degré dans ℂ

📌 Théorème

L'équation az² + bz + c = 0 (a,b,c ∈ ℝ, a≠0) a toujours des solutions dans ℂ.

Discriminant Δ = b² − 4ac.

Cas Solutions
Δ > 0 2 solutions réelles : z = (−b ± √Δ) / (2a)
Δ = 0 1 solution double réelle : z = −b / (2a)
Δ < 0 2 solutions complexes conjuguées : z = (−b ± i√|Δ|) / (2a)
📝 Exemple : z² + 2z + 5 = 0

Δ = 4 − 20 = −16 < 0. √|Δ| = 4.

z = (−2 ± 4i) / 2 = −1 + 2i et −1 − 2i.

Les solutions sont bien conjuguées.

⚠️ Quand Δ < 0 : Les solutions sont toujours conjuguées (quand a, b, c sont réels). Si z₁ est solution, z̄₁ l'est aussi. On peut factoriser : az² + bz + c = a(z−z₁)(z−z̄₁).
🎯 Théorème fondamental de l'algèbre : Tout polynôme de degré n à coefficients complexes admet exactement n racines dans ℂ (comptées avec multiplicité). C'est la raison pour laquelle ℂ est « complet » — on ne peut plus étendre.

SECTION 10

Racines n-ièmes de l'unité

📌 Définition

Les racines n-ièmes de l'unité sont les solutions de zⁿ = 1. Il y en a exactement n :

ωk = ei × 2kπ/n pour k = 0, 1, 2, …, n−1

Elles forment un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité.

📝 Exemple : racines cubiques de 1 (z³ = 1)

ω₀ = e⁰ = 1. ω₁ = ei2π/3 = −1/2 + i√3/2. ω₂ = ei4π/3 = −1/2 − i√3/2.

Triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.

📝 Exemple : racines 4èmes de 1 (z⁴ = 1)

ω₀ = 1, ω₁ = i, ω₂ = −1, ω₃ = −i.

Carré inscrit dans le cercle unité.

💡 Somme des racines : ω₀ + ω₁ + … + ωn−1 = 0 (pour n ≥ 2). La somme des sommets d'un polygone régulier centré à l'origine vaut 0.
✅ Racines n-ièmes de tout complexe : Pour zⁿ = w avec w = ρ eiφ, les n solutions sont : zk = ρ1/n ei(φ+2kπ)/n, k = 0,…,n−1.

SECTION 11

Applications géométriques

Opération sur z Transformation géométrique
z + b Translation de vecteur d'affixe b
r × z (r réel > 0) Homothétie de centre O, rapport r
eiθ × z Rotation de centre O, angle θ
r eiθ × z Similitude directe (rotation + homothétie)
z̄ Symétrie par rapport à l'axe réel
📝 Exemple : rotation de π/2 de A(2+i)

Rotation de centre O, angle π/2 : z' = eiπ/2 × z = i × (2+i) = 2i+i² = −1+2i.

A(2;1) → A'(−1;2). ✓ (rotation de 90° antihoraire.)

📝 Exemple : montrer que 3 points forment un triangle équilatéral

A, B, C d'affixes zA, zB, zC. Triangle ABC équilatéral ⟺

(zB−zA)/(zC−zA) = e±iπ/3 (rapport des côtés = rotation de ±60°).

🎯 Au bac : Les exercices de géométrie complexe demandent souvent de montrer qu'un quadrilatère est un carré/losange/rectangle, de calculer des images par rotation, ou de prouver un alignement.

SECTION 12

Exercices types

Type 1 — Calculs en forme algébrique

Addition, multiplication, division, mise sous forme a+bi.

🧠 Calculer (2−i)² + 3i.
(2−i)² = 4−4i+i² = 3−4i. +3i = 3−i.
Type 2 — Module et argument
🧠 Module et argument de z = −1+√3 i.
|z| = √(1+3) = 2. cos θ = −1/2, sin θ = √3/2 → θ = 2π/3. z = 2ei2π/3.
Type 3 — Équation dans ℂ
🧠 Résoudre z² − 4z + 13 = 0.
Δ = 16−52 = −36. √|Δ| = 6. z = (4±6i)/2 = 2+3i et 2−3i.
Type 4 — Puissance avec forme exponentielle
Type 5 — Application géométrique
🧠 Image de z=3+i par la rotation de centre O et d'angle π/4.
z' = eiπ/4(3+i) = (√2/2+i√2/2)(3+i) = 3√2/2+3i√2/2+i√2/2+i²√2/2 = (3√2/2−√2/2)+i(3√2/2+√2/2) = √2 + 2i√2.

SECTION 13

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?
z = a + bi avec a,b ∈ ℝ et i² = −1. a = partie réelle, b = partie imaginaire. ℂ contient ℝ.
Que vaut i² ?
i² = −1. Cycle : i⁰=1, i¹=i, i²=−1, i³=−i, i⁴=1…
Module d'un complexe ?
|z| = √(a²+b²). Distance à l'origine dans le plan complexe.
Argument ?
Angle θ entre l'axe réel et →OM, en radians modulo 2π.
Forme exponentielle ?
z = reiθ. Euler : eiθ = cosθ + i sinθ. Simplifie produits et puissances.
Second degré dans ℂ quand Δ < 0 ?
z = (−b ± i√|Δ|)/(2a). Deux solutions conjuguées.
Racines n-ièmes de l'unité ?
n solutions de zⁿ=1 : ωk = ei2kπ/n. Polygone régulier sur le cercle unité.
Formule d'Euler ?
eiθ = cosθ + i sinθ. Et eiπ = −1 (identité d'Euler).
Ça tombe au bac ?
Oui, en maths expertes. Calculs, module/argument, exponentielle, équations dans ℂ, géométrie.
À quoi ça sert ?
Physique (électricité, quantique), ingénierie (signal), informatique (3D, fractales). Simplifient rotations et oscillations.
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