Loi Binomiale et Loi Normale : Cours Complet
Terminale spécialité Maths — Bernoulli, B(n,p), loi normale N(μ,σ²), Moivre-Laplace, intervalles de fluctuation et de confiance
🏠 Hub Maths Lycée
🔢 Dénombrement
📐 Trigonométrie
📋 Formulaire
9. Loi normale centrée réduite N(0,1)
2. Schéma de Bernoulli
10. Loi normale générale N(μ,σ²)
3. Coefficients binomiaux
11. Propriétés de la loi normale
4. Loi binomiale B(n,p)
12. Théorème de Moivre-Laplace
5. Espérance, variance, écart-type
13. Intervalle de fluctuation
6. Représentation graphique
14. Intervalle de confiance
7. Calculatrice : binomPdf et binomCdf
15. Exercices types bac
8. Introduction à la loi normale
16. Questions fréquentes
SECTION 01
Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à exactement deux issues :
• Succès (S) avec une probabilité p
• Échec (E) avec une probabilité q = 1 − p
Lancer une pièce : Pile (S, p = 0,5) ou Face (E, q = 0,5). Tirer une carte : As (S, p = 4/52) ou autre (E). Répondre au hasard à un QCM 4 choix : bonne réponse (S, p = 0,25) ou mauvaise (E, q = 0,75). Un patient guérit (p = 0,9) ou non (q = 0,1).
On associe la variable aléatoire X : X = 1 si succès, X = 0 si échec. On note X ~ B(p).
P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 − p
E(X) = p V(X) = p(1−p) σ(X) = √(p(1−p))
SECTION 02
Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Chaque épreuve a la même probabilité de succès p.
Une urne contient 3 boules rouges et 7 bleues. On tire 5 boules avec remise. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli (succès = rouge, p = 0,3), les tirages sont indépendants → schéma de Bernoulli de paramètres n = 5 et p = 0,3.
SECTION 03
Coefficients binomiaux
Le coefficient binomial (n k), aussi noté C(n,k) ou nCk, est le nombre de façons de choisir k éléments parmi n. Il correspond au nombre de chemins comportant exactement k succès dans un schéma de Bernoulli de n épreuves.
(n k) = n! / (k! × (n−k)!)
Exemples :
(5 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10
(10 3) = 10! / (3! × 7!) = 720 / 6 = 120
(n 0) = 1 (n n) = 1 (n 1) = n
Chaque coefficient est la somme des deux coefficients au-dessus. Relation : (n k) = (n−1 k−1) + (n−1 k).
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
SECTION 04
Loi binomiale B(n,p)
Soit X le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de n épreuves et de probabilité de succès p. Alors X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée X ~ B(n, p). X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, …, n.
P(X = k) = (n k) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ
pour k ∈
On lance 4 fois un dé truqué (P(6) = 0,3). X = nombre de 6 obtenus.
P(X = 0) = (4 0) × 0,3⁰ × 0,7⁴ = 1 × 1 × 0,2401 = 0,2401
P(X = 1) = (4 1) × 0,3¹ × 0,7³ = 4 × 0,3 × 0,343 = 0,4116
P(X = 2) = (4 2) × 0,3² × 0,7² = 6 × 0,09 × 0,49 = 0,2646
P(X = 3) = (4 3) × 0,3³ × 0,7¹ = 4 × 0,027 × 0,7 = 0,0756
P(X = 4) = (4 4) × 0,3⁴ × 0,7⁰ = 1 × 0,0081 × 1 = 0,0081
Vérification : 0,2401 + 0,4116 + 0,2646 + 0,0756 + 0,0081 = 1,0000 ✓
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| P(X = k) | 0,2401 | 0,4116 | 0,2646 | 0,0756 | 0,0081 |
SECTION 05
Espérance, variance, écart-type
Si X ~ B(n, p) :
Espérance : E(X) = n × p
Variance : V(X) = n × p × (1−p)
Écart-type : σ(X) = √(n × p × (1−p))
E(X) = 100 × 0,4 = 40 (en moyenne 40 succès sur 100 épreuves)
V(X) = 100 × 0,4 × 0,6 = 24
σ(X) = √24 ≈ 4,90
SECTION 06
Représentation graphique
La loi binomiale est une loi discrète : elle se représente par un diagramme en bâtons (pas une courbe continue). Chaque bâton a pour hauteur P(X = k).
| Paramètres | Allure du diagramme |
|---|---|
| p = 0,5 | Symétrique autour de n/2 |
| p < 0,5 | Asymétrique à droite (queue vers la droite) |
| p > 0,5 | Asymétrique à gauche (queue vers la gauche) |
| n grand | La forme se rapproche d'une courbe en cloche (loi normale) |
SECTION 07
Calculatrice : binomPdf et binomCdf
| Fonction | Calcule | Syntaxe TI | Syntaxe Casio |
|---|---|---|---|
| binomPdf (BinomFdp) | P(X = k) exactement | binompdf(n, p, k) | BinomialPD(k, n, p) |
| binomCdf (BinomFrép) | P(X ≤ k) cumulée | binomcdf(n, p, k) | BinomialCD(k, n, p) |
P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) = 1 − binomCdf(n, p, k−1)
P(X > k) = 1 − binomCdf(n, p, k)
P(X < k) = binomCdf(n, p, k−1)
P(a ≤ X ≤ b) = binomCdf(n, p, b) − binomCdf(n, p, a−1)
P(X = 7) = binompdf(20, 0.35, 7) ≈ 0,1844
P(X ≤ 5) = binomcdf(20, 0.35, 5) ≈ 0,2454
P(X ≥ 10) = 1 − binomcdf(20, 0.35, 9) ≈ 1 − 0,8782 ≈ 0,1218
P(3 ≤ X ≤ 9) = binomcdf(20, 0.35, 9) − binomcdf(20, 0.35, 2) ≈ 0,8782 − 0,0121 ≈ 0,8661
SECTION 08
Introduction à la loi normale
La loi normale (ou loi de Gauss) est la loi continue la plus utilisée en statistiques et en sciences. Elle modélise les phénomènes où les valeurs se concentrent autour d'une moyenne avec une dispersion symétrique : tailles humaines, erreurs de mesure, notes à un examen, températures, etc.
La loi normale apparaît aussi naturellement comme approximation de la loi binomiale quand n est grand (théorème de Moivre-Laplace).
SECTION 09
Loi normale centrée réduite N(0,1)
La variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite N(0,1) si sa densité de probabilité est :
f(z) = (1 / √(2π)) × e^(−z²/2)
Paramètres : μ = 0 (moyenne), σ = 1 (écart-type)
La courbe : courbe en cloche de Gauss
• Centrée en 0, symétrique par rapport à l'axe z = 0
• Aire totale sous la courbe = 1
• P(Z ≤ 0) = 0,5 (par symétrie)
• Points d'inflexion en z = −1 et z = +1
• P(−z) = 1 − P(z) (propriété de symétrie)
P(−1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 0,6827 (≈ 68%)
P(−2 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0,9545 (≈ 95%)
P(−3 ≤ Z ≤ 3) ≈ 0,9973 (≈ 99,7%)
P(−1,96 ≤ Z ≤ 1,96) ≈ 0,95 (exactement 95%)
SECTION 10
Loi normale générale N(μ, σ²)
X suit la loi normale N(μ, σ²) si X = μ + σZ, où Z ~ N(0,1). Le paramètre μ est la moyenne (centre de la cloche) et σ l'écart-type (largeur de la cloche).
Si X ~ N(μ, σ²), on centre et réduit :
Z = (X − μ) / σ avec Z ~ N(0, 1)
P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a − μ) / σ) → table ou calculatrice N(0,1)
X ~ N(164, 6²) cm (μ = 164 cm, σ = 6 cm).
P(X ≤ 170) = P(Z ≤ (170 − 164)/6) = P(Z ≤ 1) ≈ 0,8413
P(152 ≤ X ≤ 176) = P(−2 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0,9545
P(X ≥ 182) = P(Z ≥ 3) ≈ 1 − 0,9987 ≈ 0,0013 (très rare)
| Effet sur la courbe | μ augmente | σ augmente |
|---|---|---|
| Position | La cloche se décale vers la droite | Pas de décalage |
| Forme | Même forme | La cloche s'aplatit et s'élargit |
| Hauteur | Inchangée | Diminue (aire = 1 toujours) |
SECTION 11
Propriétés de la loi normale
Règle des 68-95-99,7 :
P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 68,27%
P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 95,45%
P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 99,73%
• Symétrie : P(X ≤ μ − a) = P(X ≥ μ + a)
• Linéarité : si X ~ N(μ, σ²), alors aX + b ~ N(aμ + b, a²σ²)
• Somme : si X₁ ~ N(μ₁, σ₁²) et X₂ ~ N(μ₂, σ₂²) indépendantes, alors X₁ + X₂ ~ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²)
• Calculatrice : normalcdf(a, b, μ, σ) pour P(a ≤ X ≤ b) ; invNorm(p, μ, σ) pour le quantile
| Fonction | Calcule | TI-83/84 | Casio |
|---|---|---|---|
| normalcdf | P(a ≤ X ≤ b) | normalcdf(a, b, μ, σ) | NormalCD(a, b, σ, μ) |
| invNorm | x tel que P(X ≤ x) = p | invNorm(p, μ, σ) | InvNormCD(p, σ, μ) |
SECTION 12
Théorème de Moivre-Laplace
Si X ~ B(n, p) avec n suffisamment grand, alors X se comporte approximativement comme une loi normale :
X ~ B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) quand n est grand
Condition d'application : np ≥ 5 ET n(1−p) ≥ 5
np = 80 ≥ 5 ✓ et n(1−p) = 120 ≥ 5 ✓ → approximation possible.
X ≈ N(80, 48) avec σ = √48 ≈ 6,93.
P(X ≤ 90) ≈ P(Z ≤ (90 − 80)/6,93) = P(Z ≤ 1,44) ≈ 0,9251
Valeur exacte par binomCdf : P(X ≤ 90) ≈ 0,9310. Erreur < 1%.
SECTION 13
Intervalle de fluctuation
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% donne l'intervalle dans lequel la fréquence observée f̂ = X/n a 95% de chances de se trouver, sachant que la proportion théorique est p.
Si n ≥ 30 et np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5 :
Intervalle de fluctuation au seuil 95% :
I₉₅ = [ p − 1,96 × √(p(1−p)/n) ; p + 1,96 × √(p(1−p)/n) ]
On lance un dé 300 fois. Si le dé est équilibré, p = 1/6 ≈ 0,1667.
σ = √(p(1−p)/n) = √(0,1667 × 0,8333 / 300) ≈ 0,0215
I₉₅ = [0,1667 − 1,96 × 0,0215 ; 0,1667 + 1,96 × 0,0215] = [0,1245 ; 0,2089]
Si on observe f̂ = 68/300 = 0,2267 → en dehors de I₉₅ → on peut rejeter l'hypothèse que le dé est équilibré (au seuil 5%).
SECTION 14
Intervalle de confiance
L'intervalle de confiance au niveau 95% est un intervalle calculé à partir de la fréquence observée f̂ qui contient la proportion inconnue p avec une probabilité de 95%.
Intervalle de confiance au niveau 95% :
IC₉₅ = [ f̂ − 1/√n ; f̂ + 1/√n ] (formule simplifiée, au programme)
Formule exacte :
IC₉₅ = [ f̂ − 1,96 × √(f̂(1−f̂)/n) ; f̂ + 1,96 × √(f̂(1−f̂)/n) ]
Sur un échantillon de n = 400, on observe f̂ = 0,52 (52% d'intentions de vote).
Formule simplifiée : IC₉₅ = [0,52 − 1/√400 ; 0,52 + 1/√400] = [0,52 − 0,05 ; 0,52 + 0,05] = [0,47 ; 0,57]
Formule exacte : 1,96 × √(0,52 × 0,48 / 400) ≈ 0,049 → IC₉₅ ≈ [0,471 ; 0,569]
| Critère | Intervalle de fluctuation | Intervalle de confiance |
|---|---|---|
| Connu | p (proportion théorique) | f̂ (fréquence observée) |
| Inconnu | f̂ (on observe ensuite) | p (on l'encadre) |
| Utilité | Tester une hypothèse sur p | Estimer p à partir d'un échantillon |
| Sens | p est fixe, on prédit f̂ | f̂ est fixe, on encadre p |
SECTION 15
Exercices types bac
P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,0563 + 0,1877 + 0,2816 = 0,5256.
P(X ≥ 3) = 1 − 0,5256 = 0,4744 ≈ 47,4%.
P(X > 15) = 1 − binomcdf(500, 0.02, 15) ≈ 1 − 0,9647 ≈ 0,0353 ≈ 3,5%.
X ≈ N(600, 240). σ = √240 ≈ 15,49.
P(X < 570) ≈ P(Z < (570 − 600)/15,49) = P(Z < −1,94) ≈ 0,0262 ≈ 2,6%.
Formule simplifiée : IC = [0,6 − 1/√625 ; 0,6 + 1/√625] = [0,6 − 0,04 ; 0,6 + 0,04] = [0,56 ; 0,64].
On estime que p est compris entre 56% et 64% avec une confiance de 95%.
f̂ = 0,74 < 0,7446 → f̂ ∉ I₉₅ → on rejette l'hypothèse p = 0,80 au seuil 5%. Le taux annoncé ne semble pas crédible.
SECTION 16
