📈 Les Fonctions Affines — Cours Complet Seconde

Tout sur les fonctions affines : définition, coefficient directeur, ordonnée à l’origine, représentation graphique, variations, équations de droites. Avec méthodes et exercices corrigés.

8
Chapitres
6
Méthodes
8
Exercices
2nde
Niveau
💡 Pourquoi c’est important : les fonctions affines sont le premier chapitre fondamental de maths au lycée. Elles servent de base pour toute la suite : fonctions du second degré (Première), dérivation (Première/Terminale), et même les suites arithmétiques. Maîtriser ce chapitre à fond, c’est sécuriser votre parcours en maths.

📑 Sommaire
1. Définition
2. Coefficient directeur & ordonnée à l’origine
3. Représentation graphique
4. Sens de variation
5. Cas particuliers
6. Déterminer l’équation d’une droite
7. Droites parallèles & sécantes
8. Exercices corrigés



1

Définition d’une fonction affine

Définition
Une fonction affine est une fonction de la forme :

f(x) = ax + b

où a et b sont deux nombres réels constants.
— a est le coefficient directeur (ou pente)
— b est l’ordonnée à l’origine

✅ Exemples :
— f(x) = 3x + 2 → a = 3, b = 2 (fonction affine)
— g(x) = −x + 5 → a = −1, b = 5 (fonction affine)
— h(x) = 4x → a = 4, b = 0 (fonction linéaire = cas particulier)
— k(x) = 7 → a = 0, b = 7 (fonction constante = cas particulier)
⚠️ À ne pas confondre :
— f(x) = x² + 3 n’est PAS affine (c’est un polynôme de degré 2)
— f(x) = 1/x + 2 n’est PAS affine (c’est une fonction rationnelle)
— f(x) = √x n’est PAS affine
Une fonction est affine si et seulement si son expression est de la forme ax + b avec a et b constants.



2

Coefficient directeur & ordonnée à l’origine

Coefficient directeur (pente) — a
Le coefficient directeur a mesure l’inclinaison de la droite. Il indique de combien f(x) augmente (ou diminue) quand x augmente de 1.

a = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁)

— Si a > 0 : la droite monte (fonction croissante) ↗
— Si a < 0 : la droite descend (fonction décroissante) ↘
— Si a = 0 : la droite est horizontale (fonction constante) →

Ordonnée à l’origine — b
L’ordonnée à l’origine b est la valeur de f(x) quand x = 0 :

f(0) = a × 0 + b = b

Graphiquement, c’est le point où la droite coupe l’axe des ordonnées (axe vertical). Le point (0 ; b) est toujours sur la droite.

Exercice rapide
Soit f(x) = −2x + 6. Quel est le coefficient directeur ? L’ordonnée à l’origine ? La droite monte-t-elle ou descend-elle ?

a = −2 (coefficient directeur) → la droite descend car a < 0.
b = 6 (ordonnée à l’origine) → la droite coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 6).
Quand x augmente de 1, f(x) diminue de 2.



3

Représentation graphique

Propriété fondamentale
La représentation graphique d’une fonction affine f(x) = ax + b est une droite.

Réciproquement, toute droite non verticale dans un repère est la représentation d’une fonction affine.

Méthode 1 — Tracer la droite d’une fonction affine
Pour tracer la droite de f(x) = ax + b, il suffit de deux points :

Étape 1 : Placer le point (0 ; b) — l’ordonnée à l’origine.
Étape 2 : Calculer f(1) = a + b. Placer le point (1 ; a + b).
Étape 3 : Tracer la droite passant par ces deux points.

Exemple : f(x) = 2x − 1
— Point 1 : (0 ; −1)
— Point 2 : f(1) = 2 − 1 = 1 → (1 ; 1)
→ Tracez la droite passant par (0 ; −1) et (1 ; 1).

Méthode 2 — Lire graphiquement a et b
Lire b : repérez le point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. Son ordonnée est b.

Lire a : choisissez deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂) sur la droite aux coordonnées entières, puis calculez :

a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Astuce : partez du point d’ordonnée à l’origine, avancez de 1 vers la droite sur l’axe des x, et regardez de combien vous montez (ou descendez) sur l’axe des y. Ce nombre est a.

Exercice
Une droite passe par les points A(0 ; 3) et B(2 ; −1). Déterminez l’expression de la fonction affine correspondante.

Étape 1 : On lit b directement : A(0 ; 3) est sur l’axe des ordonnées, donc b = 3.

Étape 2 : On calcule a :
a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = (−1 − 3) / (2 − 0) = −4/2 = −2

Résultat : f(x) = −2x + 3



4

Sens de variation

Propriété
Soit f(x) = ax + b une fonction affine.

— Si a > 0 : f est strictement croissante sur ℝ (la droite monte)
— Si a < 0 : f est strictement décroissante sur ℝ (la droite descend)
— Si a = 0 : f est constante sur ℝ (la droite est horizontale)

Démonstration (à connaître)
Prenons deux réels x₁ < x₂. Calculons f(x₂) − f(x₁) : f(x₂) − f(x₁) = (ax₂ + b) − (ax₁ + b) = a(x₂ − x₁)

Comme x₂ − x₁ > 0 (car x₁ < x₂), le signe de f(x₂) − f(x₁) dépend du signe de a :
— Si a > 0 : f(x₂) − f(x₁) > 0, donc f(x₂) > f(x₁) → f est croissante ✓
— Si a < 0 : f(x₂) − f(x₁) < 0, donc f(x₂) < f(x₁) → f est décroissante ✓

Signe de a Variation de f Allure de la droite
a > 0 Croissante ↗ Monte de gauche à droite
a = 0 Constante → Droite horizontale
a < 0 Décroissante ↘ Descend de gauche à droite
|a| grand Varie vite Droite très pentue (raide)
|a| petit Varie peu Droite presque plate



5

Cas particuliers

Type Forme Particularité graphique Exemple
Fonction linéaire f(x) = ax Passe par l’origine (0 ; 0) f(x) = 3x
Fonction constante f(x) = b Droite horizontale f(x) = 5
Fonction identité f(x) = x Passe par l’origine, pente = 1, bissectrice du premier quadrant f(x) = x
💡 Vocabulaire : toute fonction linéaire est affine (avec b = 0). Mais toute fonction affine n’est pas linéaire. La fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine, comme le carré est un cas particulier du rectangle.



6

Déterminer l’équation d’une droite

Méthode 3 — À partir de deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂)
Étape 1 : Calculer le coefficient directeur :
a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Étape 2 : Calculer b en utilisant les coordonnées d’un des deux points :
b = y₁ − a × x₁

Étape 3 : Écrire l’équation y = ax + b.

Exercice
Déterminer l’équation de la droite passant par A(1 ; 4) et B(3 ; 10).

Étape 1 : a = (10 − 4) / (3 − 1) = 6 / 2 = 3

Étape 2 : b = 4 − 3 × 1 = 4 − 3 = 1

Résultat : y = 3x + 1

Vérification : f(3) = 3 × 3 + 1 = 10 ✓

Méthode 4 — À partir d’un point et du coefficient directeur
Si on connaît un point A(x₁ ; y₁) et la pente a :

b = y₁ − a × x₁

Exemple : Droite de pente 2 passant par (3 ; 7) :
b = 7 − 2 × 3 = 1 → y = 2x + 1

Méthode 5 — Trouver l’antécédent (résoudre f(x) = k)
Pour trouver la valeur de x telle que f(x) = k :

ax + b = k → ax = k − b → x = (k − b) / a

Exemple : f(x) = 3x − 2. Pour quel x a-t-on f(x) = 7 ?
3x − 2 = 7 → 3x = 9 → x = 3
Vérification : f(3) = 3 × 3 − 2 = 7 ✓

Méthode 6 — Trouver le zéro (intersection avec l’axe des x)
Le zéro de f est la valeur de x pour laquelle f(x) = 0 :

ax + b = 0 → x = −b/a (avec a ≠ 0)

Graphiquement, c’est le point où la droite coupe l’axe des abscisses.

Exemple : f(x) = 2x − 6 → zéro : x = 6/2 = 3. La droite coupe l’axe des x au point (3 ; 0).



7

Droites parallèles & sécantes

Propriété
Soient deux droites d₁ : y = a₁x + b₁ et d₂ : y = a₂x + b₂.

— d₁ et d₂ sont parallèles ⟺ a₁ = a₂ (même pente)
— d₁ et d₂ sont confondues ⟺ a₁ = a₂ ET b₁ = b₂
— d₁ et d₂ sont sécantes (se coupent) ⟺ a₁ ≠ a₂

Trouver le point d’intersection de deux droites
Pour trouver le point d’intersection de d₁ : y = a₁x + b₁ et d₂ : y = a₂x + b₂, on résout le système :

a₁x + b₁ = a₂x + b₂
(a₁ − a₂)x = b₂ − b₁
x = (b₂ − b₁) / (a₁ − a₂)

Puis on calcule y en remplaçant x dans l’une des deux équations.

Exercice
Trouver le point d’intersection des droites d₁ : y = 2x + 1 et d₂ : y = −x + 7.

Étape 1 : On résout 2x + 1 = −x + 7
3x = 6 → x = 2

Étape 2 : y = 2 × 2 + 1 = 5

Résultat : Le point d’intersection est (2 ; 5).
Vérification : d₂ : −2 + 7 = 5 ✓



8

Exercices corrigés

Exercice 1 — Reconnaître
Parmi ces fonctions, lesquelles sont affines ?
a) f(x) = 5x − 3    b) g(x) = x² + 1    c) h(x) = −7    d) k(x) = 4/x    e) m(x) = 0,5x

a) f(x) = 5x − 3 → affine ✓ (a = 5, b = −3)
b) g(x) = x² + 1 → PAS affine ✗ (degré 2)
c) h(x) = −7 → affine ✓ (a = 0, b = −7, c’est une fonction constante)
d) k(x) = 4/x → PAS affine ✗ (c’est 4x⁻¹)
e) m(x) = 0,5x → affine ✓ (a = 0,5, b = 0, c’est une fonction linéaire)
Exercice 2 — Image et antécédent
Soit f(x) = −3x + 9. a) Calculer f(2). b) Trouver x tel que f(x) = 0. c) Trouver x tel que f(x) = −6.

a) f(2) = −3 × 2 + 9 = −6 + 9 = 3

b) −3x + 9 = 0 → −3x = −9 → x = 3
Vérification : f(3) = −9 + 9 = 0 ✓

c) −3x + 9 = −6 → −3x = −15 → x = 5
Vérification : f(5) = −15 + 9 = −6 ✓

Exercice 3 — Équation de droite
Déterminer l’équation de la droite passant par A(−1 ; 5) et B(2 ; −1).

Étape 1 : a = (−1 − 5) / (2 − (−1)) = −6 / 3 = −2

Étape 2 : b = y₁ − a × x₁ = 5 − (−2) × (−1) = 5 − 2 = 3

Résultat : y = −2x + 3

Vérification : f(2) = −4 + 3 = −1 ✓ et f(−1) = 2 + 3 = 5 ✓

Exercice 4 — Problème concret
Un plombier facture 40 € de déplacement + 35 € par heure de travail. a) Exprimer le coût C en fonction du nombre d’heures h. b) Quel est le coût pour 3 heures ? c) Combien d’heures pour un coût de 180 € ?

a) C(h) = 35h + 40 → c’est une fonction affine avec a = 35 et b = 40.

b) C(3) = 35 × 3 + 40 = 105 + 40 = 145 €

c) 35h + 40 = 180 → 35h = 140 → h = 4 heures
Vérification : C(4) = 140 + 40 = 180 ✓

Exercice 5 — Parallèles et intersection
Soient d₁ : y = 3x − 2, d₂ : y = 3x + 5, d₃ : y = −x + 6. a) d₁ et d₂ sont-elles parallèles ? b) Trouver l’intersection de d₁ et d₃.

a) d₁ a pour pente 3 et d₂ a pour pente 3 → mêmes pentes, elles sont parallèles (et non confondues car b₁ ≠ b₂).

b) 3x − 2 = −x + 6 → 4x = 8 → x = 2
y = 3 × 2 − 2 = 4
Point d’intersection : (2 ; 4)
Vérification : d₃ : −2 + 6 = 4 ✓

📋 Récapitulatif des formules essentielles :

— Fonction affine : f(x) = ax + b
— Coefficient directeur : a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
— Ordonnée à l’origine : b = f(0)
— Zéro de la fonction : x = −b/a
— Droites parallèles : a₁ = a₂
— Croissante si a > 0, décroissante si a < 0

❓ Questions fréquentes

Quelle différence entre fonction affine et fonction linéaire ?
La fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine où b = 0 (la droite passe par l’origine). Fonction linéaire : f(x) = ax. Fonction affine : f(x) = ax + b. Toute fonction linéaire est affine, mais pas l’inverse.
Comment savoir si une droite monte ou descend sans la tracer ?
Regardez le signe du coefficient directeur a. Si a > 0, la droite monte (croissante). Si a < 0, elle descend (décroissante). Plus |a| est grand, plus la pente est raide.
Peut-on tracer une droite verticale avec une fonction affine ?
Non. Une droite verticale a pour équation x = k (par exemple x = 3). Ce n’est pas une fonction car un même x aurait plusieurs images. Les fonctions affines ne produisent que des droites non verticales.
À quoi servent les fonctions affines dans la vie réelle ?
Partout où il y a une relation de proportionnalité avec un coût fixe : tarifs (forfait + prix/unité), conversion d’unités, vitesse constante (distance = vitesse × temps + position initiale), évolution linéaire d’un phénomène. Le plombier de l’exercice 4 en est un exemple typique.
Les fonctions affines tombent-elles au bac ?
Pas directement comme sujet principal au bac de Terminale, mais elles sont utilisées partout : tangentes à une courbe (dérivation), suites arithmétiques, modélisation de phénomènes linéaires. Maîtriser les fonctions affines est indispensable pour tout le reste du lycée.

📚 Fiches de maths

📐 Toutes les formules du lycée
✏️ Équation du 2nd degré
📊 Fonctions de référence
📈 Dérivation
🔢 Suites
🏠 Tous les cours de lycée

Les fonctions affines — Cours complet Seconde — Cours et Fiches

Dernière mise à jour : février 2026