Les Nombres Relatifs en 5ème ➕➖

Cours complet : nombres positifs et négatifs, opérations, exercices corrigés et méthodes

En 5ème, on découvre les nombres relatifs — des nombres qui peuvent être positifs ou négatifs. Les températures en dessous de zéro, les altitudes sous le niveau de la mer, les dettes en argent : les nombres relatifs sont partout. Ce cours couvre les définitions, le repérage sur une droite graduée, les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division), avec des exercices corrigés et les erreurs fréquentes à éviter.

📋 Sommaire

📐 Définition et Vocabulaire

Un nombre relatif est un nombre muni d’un signe (+ ou −) et d’une partie numérique (appelée distance à zéro ou valeur absolue).

Terme Définition Exemple avec −7
Signe + (positif) ou − (négatif) Le signe est −
Distance à zéro (valeur absolue) La partie numérique, toujours positive La distance à zéro est 7
Opposé Même distance à zéro, signe contraire L’opposé de −7 est +7

Exemples concrets :

Situation Nombre positif Nombre négatif
Température +15°C (au-dessus de zéro) −5°C (en dessous de zéro)
Altitude +3 000 m (au-dessus du niveau de la mer) −400 m (mer Morte)
Argent +50 € (avoir) −30 € (dette)
Étage +3 (3ème étage) −2 (2ème sous-sol)

Convention : zéro n’est ni positif ni négatif. Les nombres positifs peuvent s’écrire avec ou sans le signe + (on écrit 5 ou +5).

📏 Repérage sur la Droite Graduée

La droite graduée est une droite avec une origine (le point O, qui correspond à 0). Les nombres positifs sont à droite de O, les nombres négatifs à gauche.

Deux nombres opposés (comme +3 et −3) sont situés à égale distance de zéro, de part et d’autre. Ils sont symétriques par rapport à l’origine.

Repérage dans un plan : en 5ème, on apprend aussi à repérer un point dans un plan à l’aide de deux axes (abscisse et ordonnée). Un point M se repère par ses coordonnées (x ; y) où x est l’abscisse et y l’ordonnée.

⚖️ Comparer des Nombres Relatifs

Règle Exemple Explication
Tout nombre positif > tout nombre négatif +2 > −100 Sur la droite, +2 est à droite de −100
Entre deux positifs : le plus grand a la plus grande distance à zéro +8 > +3 8 est plus loin de 0 vers la droite
Entre deux négatifs : le plus grand a la plus petite distance à zéro −3 > −8 −3 est plus proche de 0, donc plus à droite

Piège classique : −3 > −8 ! En négatif, plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit. Pensez au thermomètre : −3°C est « moins froid » que −8°C.

➕ Addition de Nombres Relatifs

Cas Règle Exemple
Mêmes signes Additionner les distances à zéro, garder le signe commun (+3) + (+5) = +8 / (−4) + (−7) = −11
Signes différents Soustraire les distances à zéro, prendre le signe du plus grand (+7) + (−3) = +4 / (−9) + (+5) = −4

Exemples détaillés :

Calcul Raisonnement Résultat
(+12) + (−5) Signes différents : 12 − 5 = 7, signe du + car 12 > 5 +7
(−8) + (−6) Mêmes signes (−) : 8 + 6 = 14, on garde le − −14
(−3) + (+3) Nombres opposés : leur somme est toujours 0 0
(+2,5) + (−7,3) Signes différents : 7,3 − 2,5 = 4,8, signe du − car 7,3 > 2,5 −4,8

➖ Soustraction de Nombres Relatifs

Règle fondamentale : soustraire un nombre, c’est additionner son opposé.

a − b = a + (−b)

Calcul Transformation Résultat
(+5) − (+8) (+5) + (−8) → signes différents, 8−5=3, signe − −3
(+3) − (−4) (+3) + (+4) → mêmes signes, 3+4=7 +7
(−6) − (−2) (−6) + (+2) → signes différents, 6−2=4, signe − −4
(−7) − (+3) (−7) + (−3) → mêmes signes, 7+3=10, signe − −10

Moyen mnémotechnique : quand deux signes se suivent, on les « fusionne ». Deux signes identiques (++ ou −−) donnent +. Deux signes différents (+− ou −+) donnent −.

✖️ Multiplication et Division

La règle des signes est la même pour la multiplication et la division :

Signe du 1er Signe du 2e Signe du résultat Exemple
+ + + (+3) × (+4) = +12
+ − − (+3) × (−4) = −12
− + − (−3) × (+4) = −12
− − + (−3) × (−4) = +12

Résumé : même signe → résultat positif. Signes différents → résultat négatif.

Pour un produit de plusieurs facteurs : si le nombre de facteurs négatifs est pair, le résultat est positif. S’il est impair, le résultat est négatif.

✏️ Exercices Corrigés

Exercice 1 — Ranger des relatifs

Énoncé : Ranger dans l’ordre croissant : −7 ; +3 ; −1,5 ; 0 ; +0,5 ; −12

Correction : −12 < −7 < −1,5 < 0 < +0,5 < +3

Exercice 2 — Additions

Énoncé : Calculer : a) (+8) + (−13) b) (−6) + (−9) c) (−4,5) + (+7,5)

Correction : a) Signes différents : 13 − 8 = 5, signe − → −5. b) Mêmes signes : 6 + 9 = 15, signe − → −15. c) Signes différents : 7,5 − 4,5 = 3, signe + → +3.

Exercice 3 — Soustractions

Énoncé : Calculer : a) (+5) − (+9) b) (−3) − (−8) c) (+4) − (−6)

Correction : a) (+5) + (−9) = −4. b) (−3) + (+8) = +5. c) (+4) + (+6) = +10.

Exercice 4 — Multiplications

Énoncé : Calculer : a) (−5) × (+4) b) (−3) × (−7) c) (−2) × (−3) × (−4)

Correction : a) Signes différents → −20. b) Mêmes signes → +21. c) 3 facteurs négatifs (impair) → négatif : 2 × 3 × 4 = 24 → −24.

Exercice 5 — Problème concret

Énoncé : La température à Moscou est de −15°C le matin. Elle monte de 8°C à midi, puis baisse de 5°C le soir. Quelle est la température le soir ?

Correction : Midi : (−15) + (+8) = −7°C. Soir : (−7) + (−5) = −12°C.

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

❌ Erreur Pourquoi c’est faux ✅ Bonne méthode
−3 < −8 car « 3 < 8 » En négatif c’est l’inverse : plus la distance à zéro est grande, plus c’est petit −3 > −8
(+5) + (−3) = −8 Signes différents : on soustrait, pas on additionne (+5) + (−3) = +2
(−3) − (−5) = −8 Soustraire un négatif = additionner le positif (−3) + (+5) = +2
(−4) × (−3) = −12 Deux négatifs multipliés donnent un positif (−4) × (−3) = +12
0 est un nombre négatif 0 n’est ni positif ni négatif 0 est neutre

📝 L’Essentiel à Retenir

Notion Règle
Addition (mêmes signes) Additionner les distances à zéro, garder le signe commun
Addition (signes différents) Soustraire les distances à zéro, prendre le signe du plus grand
Soustraction a − b = a + (opposé de b)
Multiplication / Division Même signe → +, signes différents → −
Comparer deux négatifs Le plus grand est celui le plus proche de zéro
Opposés a + (−a) = 0 toujours

❓ Questions Fréquentes sur les Nombres Relatifs

Pourquoi moins fois moins égale plus ?

C’est la règle qui garantit la cohérence des calculs. Si on accepte que (−3) × 0 = 0, et que 0 = (+5) + (−5), alors (−3) × [(+5) + (−5)] = 0, ce qui donne (−15) + (−3) × (−5) = 0, donc (−3) × (−5) = +15. C’est une conséquence logique de la distributivité.

Est-ce que zéro est positif ou négatif ?

Zéro n’est ni positif, ni négatif. C’est le seul nombre qui est à la fois son propre opposé et qui n’a pas de signe.

Quelle est la différence entre nombre relatif et nombre entier ?

Un nombre entier n’a pas de virgule : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Un nombre relatif peut aussi avoir des décimales : −3,5 ou +2,7. Tout nombre entier est un nombre relatif, mais pas l’inverse.

Comment calculer une somme de plusieurs nombres relatifs ?

Regrouper les positifs d’un côté et les négatifs de l’autre. Exemple : (+3) + (−5) + (+7) + (−2) = (3+7) + (−5−2) = (+10) + (−7) = +3.

Pourquoi soustraire un négatif revient à additionner ?

Soustraire (−5), c’est enlever une dette de 5. Enlever une dette, c’est gagner. Donc (−3) − (−5) = (−3) + (+5) = +2. Si votre compte est à −3 € et qu’on vous retire une dette de 5 €, vous passez à +2 €.

Qu’est-ce que la valeur absolue ?

La valeur absolue d’un nombre relatif est sa distance à zéro, toujours positive. |+7| = 7 et |−7| = 7. Deux nombres opposés ont la même valeur absolue.

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